琴生不等式_琴生不等式的性质

2020-02-28 其他范文下载本文

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常用不等式

琴生不等式：设f(x)是（a,b）内的凸函数，则对于（a,b）内任意的几个实数x1,x2,,xn有

f(x1x2xn1)[f(x1)f(x2)f(xn)]，nn等号当且仅当x1x2xn时取得。

加权的琴生不等式：f(q1x1q2x2...qnxn)q1f(x1)q2f(x2)qnf(xn)，其中

(q1,q2,...,qn0,且qi1)。

i1n例

1、利用琴生不等式证明均值不等式。

例

2、(1)在△ABC中，求sinA+sinB+sinC和cosA+cosB+cosC的最大值。

(2)若a1,a2,...,an是一组实数，且a1a2...ank（k为定值），试求a1a2...an的最小值。

222

柯西不等式：设ai,biR(i1,2,..,n)，则((bab)(a)2ii2ii1i1i1nnn2i，)当数组不全为零时，当且仅当a1,a2,...an,b1;b2,b,n...,biai(1in)时等号成立。推论1：对n个正数a1,a2,...,an，有(推论1: 对n个正数a1,a2,...,an，有(例3、22222⑴已知实数a,b,c,d,t满足abcdt8, abcdt16，求t的最大值。

ai)(i1)n2，当且仅当a1...an时取等号。iai当且仅当a1...an时取等号。n(ai2)，ia)ii2⑵若正数a,b,c,满足abc1，求(a)(b)(c)的最小值。

例

4、设p1,p2,...,pn(n2)，是1，2，…,n的任意一个排列，求证：

1a21b21c21111n1...

p1p2p2p3pn2pn1pn1pnn

排序不等式：设有两个数组：a1a2....an;b1b2....bn，令

S= a1b1a2b2...anbn，S1a1bi1a2bi2...anbin，S2a1bna2bn1...anb1，则有SS1S2，当且仅当a1a2....an;b1b2....bn时取等号。

a12b12c12a10b10c10,a,b,cR 例

5、证明bccaab

例

6、有10个人各拿一只水桶到水龙头前打水，他们所花的时间分别是1分钟，2分钟，3分钟，…..，10分钟，因为只有一个水龙头，所以他们得排队打水。问：怎样适当安排他们的打水顺序，才能使这个排队等候打水的时间总和最小？最小多少？

例