调几算方不等式_不等式的计算

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均值不等式

均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式：公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。

中文名均值不等式 外文名mean inequality 表达式Hn≤Gn≤An≤Qn 应用学科数学 适用领域范围不等式

定义

被称为均值不等式。·即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。

其中：，被称为调和平均数。，被称为几何平均数。，被称为算术平均数。，被称为平方平均数。证明

关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这里简要介绍数学归纳法的证明方法：

（注：在此证明的，是对n维形式的均值不等式的证明方法。）用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。引理：设A≥0，B≥0，则，且仅当B=0时取等号。

注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，有兴趣的同学可以想想如何证明（用数学归纳法）。

原题等价于： , 当且仅当

时取等号。当n=2时易证；

假设当n=k时命题成立，即 , 当且仅当

是、......中最大者，则

时取等号。那么当n=k+1时，不妨设

设，根据引理，当且仅当

且

时，即

时取等号。

利用琴生不等式法也可以很简单地证明均值不等式，同时还有柯西归纳法等等方法。

推广

一般形式

设函数

()。

是 时。

上的连续单调递增函数。

可以注意到，min{an}≤Hn≤Gn≤An≤Qn≤max{an}仅是上述不等式的特殊情形。

特例

⑴对实数a,b，有

（当且仅当a=b时取“=”号），（当且仅当a=-b时取“=”号）⑵对非负实数a,b，有，即

⑶对非负实数a,b，有

⑷对非负实数a,b，a≥b,有

⑸对非负实数a,b，有

⑹对实数a,b，有

⑺对实数a,b,c，有

⑻对非负数a,b，有

⑼对非负数a,b,c，有

在几个特例中，最著名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）：

当n=2时，上式即：

当且仅当

时，等号成立。

根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即。

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