三角形“五心”的充要条件的向量表示_三角形五心的向量表示

三角形“五心”的充要条件的向量表示由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“三角形五心的向量表示”。

三角形“五心”的充要条件的向量表示

江苏省姜堰中学

张圣官（225500）

让我们先来赏析一道颇有趣的向量题：

命题1：在ΔABC内任取一点O，证明：SAOASBOBSCOC0 „①（其中SA、SB、SC分别表示ΔBOC、ΔCOA、ΔAOB的面积）。

解：记OA,OB,OC方向上的单位向量依次为e1,e2,e3，并记∠BOC、∠COA、∠AOB依次为α

1、α

2、α3，则

SA SB SC121212|OB||OC|sin1，|OC||OA|sin2，（图1）|OA||OB|sin3。

所以，①式等价于e1sin1e2sin2e3sin30 „②

如图1，在OA上取点D，使ODe1sin1，过D作DE∥OB交CO延长线于E，则 在ΔODE中，DEsin2,OEsin3，∴DEe2sin2,EOe3sin3，于是，e1sin

1、e2sin

2、e3sin3恰好构成一个三角形，它们的和为零向量。故命题得证。

评注：如果把②式放到力学背景中，将e1,e2,e3看作是大小为1个单位的力，那么②式正好等价于三个共点力e1sin

1、e2sin

2、e3sin3平衡，我们还可以从物理学的角度给出其证明。根据图2可知，e1sin

1、e2sin2在e3sin3 反方向上的分量分别为sin1cos(1802)sin1cos2和

（图2）

0sin2cos(18001)sin2cos1；在垂直于e3sin3方向上的分量分别为

由于1232，故in1sin2和sin2sin1。in1cos2sin2cos1

sin(12)sin3，而sin1sin2=sin2sin1显然成立，因此三个共点的力确实平衡，这样从物理学的角度知命题获证。

这真是一道向量题横跨数理天地！然而且慢，该题另有玄机！联系到不少刊物上纷纷将三角形“五心”用各种形式的向量来表示，其实由以上结论出发倒可以很简便地得到三角形“五心”的一种向量表示。真是“踏破铁鞋无觅处，得来全不费功夫”啊！命题1中的点O是ΔABC所在平面内一点，并且在ΔABC内部，其实，若O在ΔABC的周界上时结论也成立。当点O在ΔABC形外时，类似地还可以得到：

命题2：若点O是ΔABC的形外一点且与点A位于直线BC的两侧，则有结论SAOASBOBSCOC0 „②（其中SA、SB、SC分别表示ΔBOC、ΔCOA、ΔAOB的面积）。（证明略）

只要将以上两个结论中的点O逐一看作为ΔABC的“五心”，就可以得到三角形“五心”充要条件的向量表示。

命题3：设O是ΔABC所在平面内一点，则

（Ⅰ）O是ΔABC的重心OAOBOC0 ；

（Ⅱ）O是ΔABC的外心sin2AOAsin2BOBsin2COC0 ；（Ⅲ）O是ΔABC的内心sinAOAsinBOBsinCOC0 ；（Ⅳ）O是斜ΔABC的垂心tanAOAtanBOBtanCOC0 ；（Ⅴ）O是ΔABC的旁心sinAOAsinBOBsiCnOC0或sinAOAsinBOBsinCOC0或sinAOAsinBOBsinCOC0。

利用三角形面积公式和等式①、②，容易证明上面五个结论成立。由于ΔABC的外心可以在三角形内部，也可以在外部或一边上，情形较多，以下就选结论（Ⅱ）给出其证明，其余几个结论请读者自证。

证明：设O是ΔABC的外心，先证必要性，对ΔABC分两类情形讨论。

（1）若ΔABC是锐角三角形或直角三角形，则外心O在形内或周界上，此时，222，SB1，SC1，根据命题1中的等式①易得结SA12Rsin2A2Rsin2B2Rsin2C论sin2AOAsin2BOBsin2COC0成立；

（2）若ΔABC是钝角三角形，不妨设A>900，则外心O在ΔABC形外且与A位于

2221直线BC的两侧，此时，SA1，SB1，2Rsin2(A)2Rsin2A2Rsin2B2，代入命题2中的②得sin2AOAsin2BOBsin2COC0成立。SC12Rsin2C现在再来证明充分性。若ΔABC

所在平面内一点O满足si2nAOAsi2nBOBsi2nCOC0，则由以上证明知，ΔABC的外心O一定满足等式si2AnOAsi2BnOBsi2CnOC0，而

在。两式相减，Δ

ABC

中

得，(sin2Asin2Bsin2C)OO0s2Aisn2Bisn2Ci2snAsiBsniCni0，故nOO0，即点O与外心O重合，也就是说，点O即为ΔABC的外心。从而，O是ΔABC的外心的充要条件是sin2AOAsin2BOBsin2COC0。