平面向量的数量积及运算律_平面向量的数量积运算

平面向量的数量积及运算律由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“平面向量的数量积运算”。

平面向量的数量积及运算律

【基础知识精讲】

1.平面向量的数量积的定义及几何意义

(1)两平面向量和的夹角：，是两非零向量，过点O作

=、=，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)就称为向量和的夹角，很显然，当且仅当两非零向量、同方向时θ=0°；当且仅，反方向时，θ=180°，当θ=90°，称与垂直，记作⊥.(2)两平面向是和的数量积：、是两非零向量，它们的夹角为θ，则数量｜｜·｜｜cosθ叫做向量与的数量积(或内积)，记作·，即·=｜｜·｜｜·cosθ.因此当⊥时，θ=90°,cosθ=0，这时·=0 特别规定，零向量与任一向量的数量积均为0.综上所述，·=0是⊥或，中至少一个为的充要条件

两向量与的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当≠，≠，0°≤θ＜90°时，也可以为负(当≠，≠，90°＜θ≤180°时，还可以为0(当=或=或θ=90°时).(3)一个向量在另一向量方向上的投影：设θ是向量与的夹角，则｜｜cosθ，称为向量在的方向上的投影：而｜｜cosθ,称为向量在的方向上的投影.一个向量在另一个向量方向上的投影也是一个数，不是向量，当0°≤θ＜90°时，它为正值：当θ=90°时，它为0；当90°＜θ≤180°时，它为负值.特别地，当θ=0°,它就等于｜｜；而当θ=180°时，它等于-｜｜.我们可以将向量与的数量积看成是向量的模｜

｜与｜

｜在的方向上投影｜｜cosθ的乘积.2.向量数量积的性质：

设、是两非零向量，是单位向量，θ是与的夹角，于是我们有下列数量积的性质：

(1)·=·=｜｜cosθ(2)⊥·=0(3)、同向地·=2

2·=｜｜·｜｜;,反向

.·=-｜｜｜｜;特别=｜｜或｜｜=(4)cosθ=(θ为，的夹角)(5)｜·｜≤｜｜·｜｜ 3.平面向量的数量积的运算律

(1)交换律： ·=·

(2)数乘向量与数量积的结合律：λ(·)=(λ(3)分配律：(+)· =·+·

【重点难点解析】

两向量的数量积是两向量之间的一种乘法运算，它与两数之间的乘法有本质的区别：(1)两向量的数量积是个数量，而不是向量，其值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘弦的乘积.(2)当≠时，不能由·=0，推出=，因可能不为，但可能与垂直.(3)非零实数a,b,c满足消去律，即ab=bc=).(4)对实数的积应满足结合律，即a(bc)=(ab)c,但对向量的积则不满足结合律，即·(·)≠(·)·，因·(·)表示一个与共线的向量，而(·)·表示一个与共线的向量，而两向量不一定共线.例1已知、、是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数

(1)｜·｜＝｜｜·｜｜(2)，反向⊥

∥

a=c，但对向量积则不成立，即·=·)·=·(λ);(λ∈R)

·=-｜｜·｜｜(3)｜+｜=｜-｜(4)｜｜｜·｜＝｜·｜ A.1 B.2 C.3 D.4 ＝｜｜分析：需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一仍是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则.解：(1)∵·=｜｜·｜｜cosθ

∴由｜·｜＝｜｜·｜｜及、为非零向量可得｜cosθ｜=1 ∴θ=0或π，∴∥且以上各步均可逆，故命题(1)是真命题.(2)若,反向，则、的夹有为π，∴·=｜｜·｜｜cosπ=-｜｜·｜｜且以上各步可逆，故命题（2）是真命题.(3)当⊥时，将向量，的起点确定在同一点，则以向量，为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有｜+｜＝｜-｜.反过来，若｜+｜＝｜-｜,则以，为邻边的四边形为矩形，所以有⊥，因此命题(3)是真命题.(4)当｜｜＝｜

｜但

与的夹角和

与的夹角不等时，就有｜

·｜≠｜·｜，反过来由｜·｜｜＝｜·｜也推不出｜｜＝｜｜.故命题(4)是假命题.综上所述，在四个命题中，前3个是真命题，而第4个是假命题，应选择(C).说明：(1)两向量同向时，夹角为0(或0°)；而反向时，夹角为π(或180°)；两向量垂直时，夹角为90°，因此当两向量共线时，夹角为0或π，反过来若两向量的夹角为0或π，则两向量共线.(2)对于命题(4)我们可以改进为：｜｜＝｜｜是｜·｜＝｜·｜的既不充分也不必要条件.例2已知向量+3垂直于向量7-5，向量-4垂直于向量7-2，求向量与的夹角.分析：要求与的夹角，首先要求出与的夹角的余弦值，即要求出｜｜及｜｜、·，而本题中很难求出｜｜、｜｜及·，但由公式cosθ=可知，若能把·，｜｜及｜｜中的两个用另一个表示出来，即可求出余弦值，从而可求得与的夹角θ.解：设与的夹角为θ.∵+3垂直于向量7-5，-4垂直于7-2，解之得∴2 2=2·

2=2·

=2 ∴｜｜＝｜｜

∴cosθ===∴θ=

因此，a与b的夹角为.例3已知++=,｜｜=3,｜｜＝1,｜｜＝4，试计算·+·+·.分析：利用｜｜＝解：∵++=

∴(++)=0 从而｜｜＋｜｜＋｜｜＋2·+2·+2·＝0 又｜｜＝3，｜｜＝1，｜｜＝4

2222,｜｜＝2,｜｜＝

.∴·+·+·=-(｜｜＋｜｜＋｜｜)=-

222

(3+1+4)=-13

222例4已知：向量=-2-4,其中、、是两两垂直的单位向量，求与同向的单位向量.分析：与同向的单位向量为：·

解：∵、、是两两垂直的单位向量

∴＝22＝2＝1, ·=·=·=0 ∴2=(-2-4)(-2-4)=+4

2+16-4·-8·+16·=21

2从而｜｜=∴与同向的单位向量是·=(-2-4)=--

例5求证：直径上的圆周角为直角.已知：如图，AC为⊙O的直径，∠ABC是直径AC上的圆周角.求证：∠ABC=90° 分析：欲证∠ABC=90°，须证证明：设∵=,=+, =,有=-

⊥=，因此可用平面向量的数量积证

·

=0 且｜｜＝｜｜ ∴∴·⊥=(+)(-)=｜｜-｜｜=0 ∴∠ABC=90°

22【难题巧解点拔】

例1如图，设四边形P1P2P3P4是圆O的内接正方形，P是圆O上的任意点.求证：｜＋｜｜＋｜2

｜

2｜＋｜｜为定值.2

分析：由于要证：｜｜＋｜

｜＋｜

｜＋｜｜为定值，所以需将(i=1,2,3,4)代换成已知向量或长为定值的向量的和(或差)，才能使问题证，而这里的半径、、=｜=（2、+

-=、-)=（2

2等可供我们选择.(i=1,2,3,4).)-2（22证明：由于∴有｜

··)+())

2设⊙O的半径为r，则｜∴｜+)·｜＋｜=8r-2··22

｜=2r-2(｜＋｜

｜＋｜｜＝8r-2（22

++

=8r(定值).例2设AC是□ABCD的长对角线，从C引AB、AD的垂线CE，CF，垂足分别为E，F，如图，2试用向量方法求证：AB·AE+AD·AF=AC

分析：由向量的数量积的定义可知：两向量，的数量积·=｜｜·｜｜·cosθ(其中θ是，的夹角)，它可以看成｜｜与｜｜在的方向上的投影｜｜·cosθ之积，因此要证明的等式可转化成：量方法不难得证： 证明：在Rt△AEC中｜在Rt△AFC中｜∴｜｜∴｜｜·｜｜·｜｜·｜

｜＝｜｜＝｜｜=｜｜=｜｜＋｜

+

=

｜cos∠BAC ｜cos∠DAC ｜·｜｜·｜｜·｜

｜·cos∠BAC=｜cos∠DAC=｜=

·

+

···

=（+)·

·

+

·

=,而对该等式我们采用向又∵在□ABCD中，∴原等式左边=(+)·=·=｜｜=右边

2例3在△ABC中，AD是BC边上的中线，采用向量法求证：

｜AD｜=2(｜AB｜+｜AC｜-

222

｜BC｜)+，=

+，通过计算证明

2分析：利用｜a｜=a·a及=证明：依题意及三角形法则，可得：

=+=-

=+=+

则｜｜=(2-)(-)=｜｜+

2｜｜-

·

｜｜=(2+)(+)=｜｜+

｜｜+

·

所以｜｜＋｜2

｜＝2｜

｜＋

｜｜

2移项得：｜｜=2

(｜｜+｜

２

｜-

｜｜)

2例4若(+)⊥(2-),(-2)⊥(2+)，试求，的夹角的余弦值.分析：欲求cosθ的值，根据cosθ=，只须计算即可

解：由(+)⊥(2-),(-2)⊥(2+)

①×3+②得：2=

∴｜｜=2｜｜③

2由①得：·=由③、④可得：

2-2

2=｜｜-2×

｜｜=-

｜｜④

2cosθ= ==-

∴，的夹角的余弦值为-【典型热点考题】

.例1设、、是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题

①(·)·-(·)·)=;②｜｜-｜｜＜｜-｜;③(·)·-(·)·不与垂直； ④(3+2)·(3-2)=9｜｜-4｜｜.其中正确的有()A.①② B.②③ C.③④ D.②④

解：选D.②正确，因、不共线，在｜｜-｜｜≤｜-｜中不能取等号；④正确是明显的，①错误，因向量的数量积不满足结合律；③错误，因［(·)·-(·)·］·=(·)·(·)-(·)·(·)=0,则(·)·-(·)·与垂直.例2已知+=2-8,-=-8+16,其中,是x轴、y轴方向的单位向量，那么·=.2=-3+4, =5-12

∴·=(-3+4j)·(5-12)=-15+56·-48∵⊥,｜｜=｜｜=1,∴·=0 ∴·=-15｜｜-48｜｜=-63

解法2：· =［(+)-(-)］=2

［4(-4)-64(-2)］

22=-8·+16j-16(-4·+4)=-15+56·-48

=-63 解法3：在解法1中求得=-3+4，即向量的坐标是(-3，4)，同理=(5,-12).∴·=-3×5+4×(-12)=63 例3设、是平面直角坐标系中x轴、y轴方向上的单位向量，且=(m+1)-3,=+(m-1)，如果(+)⊥(-)，则m=.解法1：∵(+)⊥(-)∴(+)·(-)=0,即

=0

2∴［(m+1)-3］-［+(m-1)］=0 ∴［(m+1)-3］｜｜-［6(m+1)+2(m-1)］·+［9-(m-1)］·∵｜｜＝｜｜=1, ·=0, ∴(m+1)-(m-1)+8=0，则m=-2.解法2：向量的坐标是(m+1,-3),的坐标是(1，m-1).由(+)·(-)=0,得｜｜＝｜｜.解得m=-2 评析：向量的运算性质与实数相近，但又有许多差异.尤其是向量的数量积的运算与实数的乘法运算，两者似是而非，极易混淆，是近年来平面向量在高考中考查的重点，应予以重视.例4在△ABC中，若

=,=,=，且·=·=·，则△ABC的形状

222

=0 是()A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.A、B、C均不正确 解：因为++=++

= ① 则有+=-,(+)=同理：2+2+2·=2

②

2①-②，有2-+2(·-·)=-

由于·=· 所以2＝2

即是｜｜＝｜｜ 同理｜｜=｜｜ 所以｜｜＝｜

｜＝｜

｜

△ABC为正三角形.∴应选C.