三角形外心内心重心垂心与向量性质_三角形内心外心重心

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三 角 形 的“四 心”

所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心

定

义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。ABC的重心一般用字母O表示。性

质：

1.外心到三顶点等距，即OAOBOC。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即ODBC,OEAC,OFAB.3.向量性质：若点O为ABC所在的平面内一点，满足(OAOB)BA(OBOC)CB(OCOA)AC，则点O为ABC的外心。

二、三角形的内心

定

义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质： 性

质：

1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。2.三角形的面积＝1三角形的周长内切圆的半径． 23.向量性质：设0,，则向量AP(点P的轨迹过ABC的内心。

AB|AB||AC|AC)，则动三、三角形的垂心

定

义：三角形三条高的交点叫重心。ABC的重心一般用字母H表示。性

质：

1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AHBC,BHAC,CHAB。2.向量性质：

结论1：若点O为ABC所在的平面内一点，满足OAOBOBOCOCOA，则点O为ABC的垂心。

结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足OABCOBCAOCAB，则点O为ABC的垂心。

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2四、三角形的“重心”：

定

义：三角形三条中线的交点叫重心。ABC的重心一般用字母G表示。

性

质：

1.顶点与重心G的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GA2GD,GB2GE,GC2GF 3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即xGxAxBxCyyByC,yGA.334.向量性质：（1）GAGBGC0；（2）PG

1(PAPBPC)。3 2