两向量的向量积_两向量之积

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§1.8 两向量的向量积

定义1.8.1 两个向量a与b的向量积（外积）是一个向量，记作a×b，它的模是

|a×b|  |a| |b| sin

其中 为a与b间的夹角.a×b的方向与a与b都垂直，并且按a，b，a×b的顺序构成右手标架{O；a，b，a×b}（下图）.abba 定理1.8.1两个不共线向量a与b的向量积的模，等于以a与b为边所构成的平行四边形的面积.定理1.8.2两向量a与b共线的充要条件是a  b  0.证

当a与b共线时，由于sin(a、b)= 0，所以 |ab|=|a| |b| sin(a、b)= 0，从而ab0；反之，当ab  0时，由定义知，a =0，或b =0，或sin(a、b)= 0，a // b，因零矢可看成与任向量都共线，所以总有a // b，即a与b共线.定理1.8.3 向量积满足下面的运算律(1)反交换律(2)分配律

证（略）.定理1.8.4 设a ax i  ay j  az kb bx i  by j  bz k，则

ab (aybz azby)i＋(azbx axbz)j ＋(axby aybx)k

证

由向量积的运算律可得

a  b (ax i  ay j  az k)(bx i  by j  bz k)

axbx i  i  axby i  j  axbz i  k ＋aybx j  i ＋ ayby j  j ＋ aybz j × k

＋azbx k  i  azby k  j azbz k  k

由于 ii  jj  kk  0，ij  kjk  I，k  i  j

所以

ab (aybz azby)i＋(azbx axbz)j＋(axby aybx)k.为了帮助记忆，可利用三阶行列式符号将上式形式地写成ijkab axayaz bxbybzba

a  b  b  a，

(a  b) c  a  c  b  c，c (a  b) c a  c  b.(a) b  a (b) (a  b)(为数).(3)数因子的结合律



使用时可按第一行展开.－16－例1 设a (2 1 1)，b(1 1 2)，计算ab  解

ab2jk11112i  i－5j －3k

例

2已知三角形ABC的顶点分别是A(123)、B(345)、C(247)求三角形ABC的面积

解

根据向量积的定义可知三角形ABC的面积

SABC11|AB||AC|sinA|ABAC|22

由于AB(222)AC(124)因此

ijkABAC2221244i6j2k

于是

SABC11|4i6j2k|2242(6)22214

例3 设刚体以等角速度 绕l 轴旋转计算刚体上一点M的线速度

解

刚体绕l 轴旋转时我们可以用在l 轴上的一个向量n表示角速度它的大小等于角速度的大小它的方向由右手规则定出即以右手握住l 轴当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时大姆指的指向就是n的方向

设点M到旋转轴l的距离为a 再在l轴上任取一点O作向量rOM并以 表示n与r的夹角那么

a|r| sin 

设线速度为v那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知v的大小为

|v||n|a |n||r| sin 

v的方向垂直于通过M点与l轴的平面即v垂直于n与r又v的指向是使n、r、v符合右手规则因此有

vnr

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