向量中的三角形心的问题_向量表示三角形中的心

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向量中的三角形“四心”问题

学习向量的加减法离不开三角形，三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形性质的重要组成部分，你知道它们的向量表示吗？你能证明吗？下面的几个结论也许能给同学们一点帮助。

结论1：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足点O为△ABC的垂心。证明：由，所以

。同理可证，得，即，则

。故O为△ABC的垂心。

结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足，则点O为△ABC的垂心。

证明：由。同理可证，得

。容易得到，所以

由结论1知O为△ABC的垂心。

结论3：若点G为△ABC所在的平面内一点，满足ABC的重心。证明：由，所以，得，则点G为△

。设BC边中点为M，则，即点G在中线AM上。设AB边中点为N，同理可证G在中线CN上，故点G为△ABC的重心。

结论4：若点G为△ABC所在的平面内一点，满足为△ABC的重心。，则点G证明：由，得。由结论3知点G为△ABC的重心。，得结论5：若点P为△ABC所在的平面内一点，并且满足，则点P为△ABC的内心。

证明：由于方向的单位向量为，与，可得

同方向的单位向量为，则

。设与同

。因为，知点P在∠A为单位向量，所以向量的平分线上。

同理可证点P在∠B的平分线上。故点G为△ABC的内心。

在∠A的平分线上。由结论6：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足，则点O为△ABC的外心。

证明：因为，所以

同理得，所以。故点O为△ABC的外心。

由题意得，得说明：以上几个结论不仅给大家展示了三角形的“四心”的向量表示，而且是向量加减法应用的很好典例，值得大家关注。