03 第三节 数量积 向量积 混合积_数量积向量积混合积

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第三节 数量积 向量积 混合积

内容分布图示

★ 两向量的数量积

★ 数量积的运算 ★ 例

2★ 例5

★ 例3

★ 例

1★ 例4

★ 引例

★ 向量积的运算

★ 向量积的定义 ★ 例7

★ 例10

★ 混合积的几何意义

★ 例13

★ 例8

★ 例6

★ 例9

★ 向量的混合积

★ 例11

★ 例12

★ 内容小结

★ 课堂练习

★ 习题7-3

★ 返回

内容要点：

一、两向量的数量积：

定义1设有向量a、b，它们的夹角为，乘积|a||b|cos称为向量a与b的数量积（或称为内积、点积），记为ab，即

ab|a||b|cos.根据数量积的定义，可以推得：



（1）ab|b|Prjba|a|Prjab;（2）aa|a|;（3）设a、b为两非零向量，则 ab的充分必要条件是 ab0.2数量积满足下列运算规律：

（1）交换律

abba;

（2）分配律

（3）结合律 (ab)cacbc;(ab)(a)ba(b),（为实数）.二、两向量的向量积

定义2 若由向量a与b所确定的一个向量c满足下列条件：

（1）c的方向既垂直于a又垂直于b, c的指向按右手规则从a转向b来确定（图7-3-5）；

（2）c的模 |c||a||b|sin，(其中为a与b的夹角)，则称向量c为向量a与b的向量积（或称外积、叉积），记为

cab.根据向量积的定义，即可推得

（1）aa0；

（2）设a、b为两非零向量，则 a//b的充分必要条件是 ab0.向量积满足下列运算规律: （1）abba;

（2）分配律(ab)cacbc;

（3）结合律 (ab)(a)ba(b),（为实数）.三、向量的混合积 例题选讲：

两向量的数量积

例1(讲义例1)已知a{1,1,4},b{1,2,2}, 求 (1)ab;

(2)a与b的夹角;(3)a与b上的投影.例2 证明向量c与向量(ac)b(bc)a垂直.例3(讲义例2)试用向量方法证明三角形的余弦定理.例4(讲义例3)设a3b与7a5b垂直, a4b与7a2b垂直, 求a与b之间的夹角.例5(讲义例4)设液体流过平面S上面积为A的一个区域, 液体在这区域上各点处的流速均为(常向量)v.设n为垂直于S的单位向量(图7-3-3a), 计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量P(液体的密度为).两向量的向量积

例6(讲义例5)求与a3i2j4k,bij2k都垂直的单位向量.例7(讲义例6)在顶点为A(1,1,2),B(5,6,2)和C(1,3,1)的三角形中, 求AC边上的高BD.例8 设向量m,n,p两两垂直, 伏隔右手规则, 且

m4, n2, p3,计算(mn)p.例9(讲义例7)设刚体以等角速度绕l轴旋转, 计算刚体上一点M的线速度.例10 利用向量积证明三角形正弦定理.向量的混合积

例11(讲义例8)已知(ab)c2, 计算[(ab)(bc)](ca).例12(讲义例9)已知空间内不在同一平面上的四点

A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D(x4,y4,z4)

求四面体的体积.例13 已知ai,bj2k,c2i2jk, 求一单位向量, 使c, 且与a,b此同时共面.课堂练习

1.已知向量a0,b0, 证明

2222|ab||a||b|(ab).2.已知a,b,c两两垂直, 且|a|1,|b|2,|c|3,求sabc的长度与它和a,b,c的夹角.