圆的切点弦求法与四点共圆复习1_圆的整理与复习1

圆的切点弦求法与四点共圆复习1由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“圆的整理与复习1”。

(3)双曲线的切点弦方程(1)圆的切点弦方程 4)抛物线的切点弦方程 5椭圆的切点弦方程

圆的切点弦方程的解法探究

在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。

一、预备知识：

1、在标准方程（xa)2(yb)2r2下过圆上一点P（x0,y0)的切线方程为：（x0a（）xa)(y0b)(yb)r2；

在一般方程x2y2DxEyF0（DE4F0）下过圆上一点P（x0,y0)的切线方程为：

xx0yy0D

xx0yy0

EF0。2

222

22、两相交圆x2y2D1xE1yF10（D1E14F10）与

x2y2D2xE2yF20（D2E24F20）的公共弦所在的直线

方程为：(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0。

22223、过圆xyDxEyF0（DE4F0）外一点P（x1,y1)作圆的切线，其切线长公式为：|PA|x12y12Dx1Ey1F。

4、过圆x2y2DxEyF0（DE4F0）外一点

2P（x1,y1)作圆的切线，切点弦AB所在直线的方程为：

；（x1a（）xa)(y1b)(yb)r2（在圆的标准方程下的形式）xx1yy1D

xx1yy

1。EF0（在圆的一般方程下的形式）

二、题目已知圆x2y22x4y40外一点P（-4，-1），过点P作圆的切线PA、PB，求过切点A、B的直线方程。

三、解法

解法一：用判别式法求切线的斜率

如图示1，设要求的切线的斜率为k（当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线

方程为：y(1)k[x(4)]

即kxy4k10 kxy4k10

由2消去y并

2xy2x4y40

整理得

(1k2)x2(8k26k2)x(16k224k1)0①

令(8k26k2)24(1k2)(16k224k1)0②

15解②得 k0或k 8

1528将k0或k分别代入①解得x

1、x 817

2858从而可得 A(,)、B(1,-1)，1717

再根据两点式方程得直线AB的方程为：5x3y20。

解法二：用圆心到切线的距离等于圆的半径求切线的斜率

如图示1，设要求的切线的斜率为k（当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线方程为： y(1)k[x(4)]

即kxy4k10

由圆心C(1,2)到切线kxy4k10的距离等于圆的半径3，得

|k124k1|

k(1)

15解③得 k0或k 8

从而可得切点 A(223③ 所以切线PA、PB的方程分别为：15x8y520和y1 2858,)、B(1,-1)，1717

再根据两点式方程得直线AB的方程为：5x3y20。

解法三：用夹角公式求切线的斜率

如图示1，设要求的切线的斜率为k，根据已知条件可得 22|PC|=1(4)][2(1)]34，r3，kPC2(1)3 1(4)

5在RtPAC中，|PA|=5，tgCPA3 5

3④ 由夹角公式，得351k5

15解④得k0或k 8

所以切线PA、PB的方程分别为：15x8y520和y

12858从而可得切点 A(,)、B(1,-1)，1717

再根据两点式方程得直线AB的方程为：5x3y20。k

解法四：用定比分点坐标公式求切点弦与连心线的交点

如图示1，根据已知条件可得 2(1)3 1(4)

5PH25在RtPAC中，|PA|=5，AHPC，从而可得 HC9

1141由定比分点公式，得 H(,)

343

415又因为kAB kPC

3再根据点斜式方程得直线AB的方程为：5x3y20。22|PC|=1(4)][2(1)]34，r3，kPC解法五：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之

一

如图示2，因为|PA|=|PB|，所以直线AB就是经过以P

圆C`与圆xy2x4y40的交点的直线，由切线长公式得

2|PA|=4)(1)2(4)4(1)45 2

2所以圆C`的方程为 x2y28x2y80

根据两圆的公共弦所在的直线方程，得5x3y20

即 直线AB的方程为：5x3y20。

解法六：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之二

如图示3，因为PACA，PBCB，所以P、A、C、B四点共圆，根据圆的直径

式方程，以P（-4，-1）、C（1，2）为直径端点的圆的方

程为

[x(4)](x1)[y(1)](y2)0

即x2y23xy60

根据两圆的公共弦所在的直线方程，得5x3y20 即 直线AB的方程为：5x3y20。

解法七：运用圆的切线公式及直线方程的意义 设切点A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，根

据过圆上一点的切线方程，得切线PA、PB的方程分别为 xx1yy12xx14yy140 和 2

2xx2yy2xx2yy22440 22

因为P（-4，-1）是以上两条切线的交点，将点P的坐标代入并整理，得 5x13y120⑤ 5x3y2022

由式⑤知，直线 5x3y20经过两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，所以，直线AB的方程为：5x3y20。

解法八：直接运用圆的切点弦方程

因为P（-4，-1）是圆x2y22x4y40外一点，根据切点弦所在直线的方程xx1yy1Dxx1Eyy1F0 得 2

2x（4）y（1）4x（1）y2440 22

整理得，直线AB的方程为：5x3y20。

解法九：运用参数方程的有关知识

如图4，将圆的普通方程x2y22x4y40 化为参数方程：

x13cos（其中为参数）y23sin

设切点A的坐标为（13cos，23sin），由PACA得

(23sin)(1)(23sin)21化简，整理得(13cos)(4)(13cos)

15cos3sin30⑥ 2(1)3 又因为kPC1(4)515kAB kPC3可设直线AB的方程为5x3yc0，将点A（13cos，23sin）代入并整理，得 11c05cos3sin

3⑦ 11c3，从而得 c2 3

所以，直线AB的方程为：5x3y20 由式⑥和⑦知，四点共圆

证明四点共圆的基本方法证明四点共圆有下述一些基本方法：

方法1

从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．

方法2

(，从而即可肯定这四点共

圆．（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）

方法3

把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．

方法

4把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．

方法

5证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．既连成的四边形三边中垂线有交点，即可肯定这四点共圆．上述五种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这五种基本方法中选择一种证法，给予证明．判定与性质：

180°,并且任何一个外角都等于它的内对角。如四边形ABCD内接于圆O，延长AB和DC交至E，过点E作圆O的切线EF，AC、BD交于P，则A+C=π，B+D=π，角DBC=

角DAC（同弧所对的圆周角相等）。角CBE=角ADE（外角等于内对角）

方法6

同斜边的两个RT三角形的四个顶点共圆，其斜边为圆的直径