重庆大学《高等数学 Ⅱ2》重修试题A0812月(答案)_高数2期末试题及答案

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重庆大学试卷教务处07版

重庆大学高等数学Ⅱ-2（重修）课程试卷

2009~2010学年

2lny法线方程为x

1y

z2



11

.切平面方程：8x4y4z10。

3．（9分）利用格林公式计算曲线积分2

yL

2(x

3xy21)dy，其中L为正向圆周x2y22x。

解：由格林公式

(x

y2

y)dxdy

(x

y2)dxdy0

L

D

D



2cos

2

用极坐标



r3

drd

d

r3

dr8

cos4

d

831D

4223

.



0

四、计算题（共49分）

1．（9

分）求微分方程dy

y

dx2(lnyx)的通解。

dxdy



2(lnyx)

2y

y

x

2lnyy

即

dxdy



2y

x

2lnyy



xe

2

ydy

(2lnyydy

y

edyC)

e2lny

(

lny

y2dyC)



12lny

y2

(

y

y2

dyC)



y2

(2ylnydyC)

y

(lnyd(y2)C)



1(y2

lny

y

y

2C)

(lny

12Cy)

2．（9分），求过点(3,1,2)且通过直线

x4y35

2

z1的平面方程。

解：由已知点A(3,1,2),B(4,3,0)在平面上，直线的方向向量为



s(5,2,1)

则AB

(1,4,2)，所求平面的法向量为nAB

s(8,9,22)

平面直线的方程为8(x3)9(y1)22(z2)0 即为8x9y22z59

0

3．（9分）利用高斯公式计算曲面积分(x

y)dxdy(yz)xdydz，

其中为柱面

x2y2

1及平面z0,z3所围成的空间闭区域

的整个边

界曲面的外侧。解：(x

y)dxdy(yz)xdydz



(yz)dxdydz





213





(sinz)dddz

dd(sinz)dz

9

4．（9分）

求幂级数n(x1)n的收敛域及和函数。

n1

由 lim

an1lim

n1x1x1

n

an

n

n

当x1时收敛，即收敛域为：0x2设和函数为：





S(x)

n(x1)

n

(x1)n(x1)

n1

n1

n1



(x1)[(x1)n

]

n1

(x1)[x11(x1)]

(x1)[x12](x1)

1x

(2x)



x1(2x)

5．（13分）设x

y2z1,求x2y2z的极小值.解:作拉格朗日函数F(x,y,z,)x2

y2

z2

(xy2z1),令

Fx2x0,Fy2y0,Fz2z20,Fxy2z10

得



13,驻点为（16,16,1),由题知函数在该点处取得极小,其极小值为16

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