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《数学分析》之二重积分

摘要：《数学分析》是数学系最重要的基础课之一。数学分析基于微积分，并在其理论体系上的严格化和精确化，从而确立了在整个自然科学中的基础地位，并运用于自然科学的各个领域。二重积分便是《数学分析》中的重点，也是数学中最重要的工具。本文要说明二重积分在概率，物理，生活的应用。

关键字：二重积分 概率 曲顶柱体的体积 面积

正文：在《数学分析》中，二重积分扮演着非常重要的角色。二重积分的定义是设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D上,将区域D任意分成n个子域Δδi(i=1,2,3,„,n)，并以Δδi表示第i个子域的面积.在Δδi上任取一点(ξi,ηi),作和lim n→+∞(n/i=1 Σ(ξi,ηi)Δδi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域D上的二重积分,记为∫∫f(x,y)dδ。正如《数学分析》中说的通过“分割，近似求和，取极限”这个三步骤得到的。在物理学与工程技术中也有常遇到，如求非均匀平面的质量，质心，转动惯量等。而且在生活也有很大的用处。

求所谓曲顶柱体是指这样的立体, 它的底面是 Oxy平面上一个有界的和可求面积的区域，D,顶是 D上恒正的连续函数 D的zf(x,y)所代表的曲面, 侧面是从 边界上竖起来的垂直柱面.曲顶柱体的体积, 即

Vlimf(i,i)i.0i1n设有一平面薄板, 在 xy 平面上是有界闭区域

D.已知 D.的面密度为

(x,y),(x,y)是正值连续函数, 则薄板的质量为

若f(P)在 kf(P)也在 D可积, 且 k为常数, 则 D可积,Mlim(i,i)i.0i1n

kf(P)dkf(P)d.DD

D可积, 且 若

f(P)与gf(P)g(P),f(P)g(P)也在(P)都在 D可积，则

(可加性)若 f(P)在 D可积的充DD1D2,且 D1,D2除边界外不相交, 则 要条件是 f(P)在 D1,D2均可积, 且

f(P)df(P)dg(P)d.[f(P)g(P)]df(P)dg(P)d.DDDDD1D2

二重积分求平面区域面积曲面方程 S:zf(x,y),(x,y)D

A1fx2fy2dxdy

Dxx(u,v)曲面参数方程S:yy(u,v),(u,v)Duv

zz(u,v)iA(xuiyujzuk)(xviyvjzvk)dudvxuDuvDuvjyuyvkzududv zvxv二重积分主要给出了直角坐标系和极坐标系的计算方法： 1.在直角坐标下：(a)X-型区域

几何直观表现：用平行于y轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数yy1(x)和yy2(x)。

被积区域的集合表示：D{(x,y)axb,y1(x)yy2(x)}； 二重积分化为二次积分：

Df(x,y)dxdydxaby2(x)y1(x)f(x,y)dy．

(b)Y-型区域

几何直观表现：用平行于x轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由左右交点位于的曲线确定两个函数xx1(x)和xx2(x).被积区域的集合表示：D{(x,y)cyd,x1(x)xx2(x)}； 二重积分化为二次积分：

Df(x,y)dxdydxcdx2(y)x1(y)f(x,y)dx．

2.在极坐标下：

几何直观表现：从极点出发引射线线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数rr1()和rr2().（具体如圆域，扇形域和环域等）；

被积区域的集合表示：D{(r,)12,r1()rr2()}，注意，如果极点在被积区域的内部，则有特殊形式D{(r,)02,0rr2()}；

直角坐标下的二重积分化为极坐标下的二重积分，并表示成相应的二次积分：

f(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrdDD21dr2()r1()f(rcos,rsin)rdr．

3.二重积分的换元法：

zf(x,y)在闭区域D上连续，设有变换

xx(u,v)T,(u,v)D yy(u,v)将D一一映射到D上，又x(u,v),y(u,v)关于u, v有一阶连续的偏导数，且

J则有

(x,y)0,(u,v)D

(u,v)f(x,y)dxdyf(x(u,v),y(u,v))Jdudv

DD二重积分可以很好的帮助我们深刻理解微积分基本定理在数学分析中的重要性,以及加深对这些积分公式的印象并能熟练运用.参考文献：

[1] 费定晖 吉米多维奇数学分析习题集题解 2005.1 [2] 石奇骠 关于重积分的研究 2012-3 [3]陈传璋等.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1983.47.[4]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社,2001..[5] 刘正荣 数学分析 科学出版社 2012-8-1