2函数极限的性质解读_2连续函数的性质解读

2函数极限的性质解读由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“2连续函数的性质解读”。

§2 函数极限的性质

在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：

1）；

2）；

3）；

4）；

5）；

6）。

它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4）种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质。

至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应的作些修改即可。

定理3.2（唯一性）若极限 证

设与、都是

当

存在，则此极限是唯一的。

时的极限，则对任给的，分别存在正数，使得当

时有

（1）

当 时有

（2）

取，则当时，（1）式与(2)式同时成立，故有

由的任意性得。这就证明了极限是唯一的。定理3.3（局部有界性）若极限 内有界。

存在，则在某空心邻域证

设。取，则存在，使得对一切。

有

这就证明了在内有界。

定理3.4（局部保号性）若（或），存在，使得对一切

有

（或），则对任何正数

（或证 设有，这就证得结论。对于，对任何，取，则存在）。，使得对一切的情形可类似地证明。

定理3.5（保不等式性）设 内有，则

与都存在，且在某邻域。

（3）

证 设，使得当，时，则对任给的，分别存在正数与

（4）

当

时有

（5）

令，则当

时，不等式

与（4）,（5）式同时成立，于是 有式成立。，从而

。由的任意性得，即（3）定理3.6（迫敛性）设==，且在某内有

（6）

则。

证 按假设，对任给的时

（7），分别存在正数

与，使得当当时有

（8）

令，则当

时，不等式（6）、（7）、（8）式同时成立，故有，由此得，所以。定理3.7（四则运算法则）若极限数，当

与

都存在，则函 时极限也存在，且

1）=

2）=

又若，则当时极限也存在，且有

3）

这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给读者作为练习。利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发计算较复杂的函数极限。

例1求。

解 由第一章§3习题13，当 时有，而，故由迫敛性得

。另一方面，当时有，故由迫敛性又可得。

综上，我们求得。

例2 求。

解

由

及§1例4所得的并按四则运算法则有

=

例3 求

解 当 时有。故所求极限等于。

例4

证明

证

任给（不妨设），为使

（9）

即，利用对数函数

（当

时）的严格增性，只要

于是，令成立，从而证得结论。，则当时，就有（9）式