函数极限存在的条件(精)_函数极限存在的条件

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§3 函数极限存在的条件

教学目的：通过本次课的学习，使学生掌握函数极限的归结原则和柯西准则并能加以应用解决函数极限的相关问题。

教学方式：讲授。教学过程：

我们首先介绍xx0这种函数极限的归结原则（也称Heine定理）。

定理3.8（归结原则）。limf(x)A存在的充要条件是：对任何含于Uo(x0;')且以

xx0x0为极限的数列{xn}，极限limf(xn)都存在且等于A。

n证：[必要性] 由于limf(x)A，则对任给的0，存在正数(')，使得当

xx00|xx0|时，有。

另一方面，设数列{xn}Uo(x0;')且以x0为极限，则对上述的0，存在N0，当nN时有0|xnx0|，从而有|f(x)A|。这就证明了limf(xn)A。

n[充分性] 设对任何数列{xn}Uo(x0;')且以x0为极限，有limf(xn)A。现用

n反证法推出limf(x)A。事实上，倘若当xx0时f不以A为极限，则存在某00，xx0对任何0（无论多么小），总存在一点x，尽管0|xx0|，但有|f(x)A|0。现依次取',2,,n,，则存在相应的点x1,x2,,xn,，使得

0|xnx0|n，而|f(xn)A|0,n1,2,

显然数列{xn}Uo(x0;')且以x0为极限，但当n时f(xn)不趋于A。这与假设相矛盾，故必有limf(x)A。

xx0'''注：（1）归结原则可简述为：

limf(x)A对任何xnx0(n)且xnx0都有limf(xn)A。

xx0n（2）归结原则也是证明函数极限不存在的有用工具之一：若可找到一个以x0为极限

'“的数列{xn}，使limf(xn)不存在，或找到两个都以x0为极限的数列{xn}，{xn}，使得n'”limf(xn)，limf(xn)都存在而不相等，则limf(x)不存在。nnxx0

（3）对于xx0,xx0,x,x,x这几种类型的函数极限的归

结原则，有类似的结论。（让学生课堂练习，教师加以评正。）

例1设f(x)sin1，x0，证明极限limf(x)不存在。xx0'证：设xn1n，xn“'”，则显然有（n1,2,)x0,x0(n)，但 nn2n12'“f(xn)00,f(xn)11(n)。故由归结原则即得结论。

对于xx0,xx0,x,x这几种类型的函数极限，除有类似于定理3.8的归结原则外，还可以表述为更强的形式。

0f(x)A的充要条件是：对任何含定理 3.9 设函数f在U(x0;')内有定义。limxx00于U(x0;')且以x0为极限的递减数列{xn}，极限limf(xn)都存在且等于A。

n证：仿照定理3.8的证明，但在运用反证法证明充分性时，对的取法要适当的修改。

相应于数列极限的单调有界定理，关于函数的单侧极限也有相应的定理。现以xx0这种类型为例阐述如下：

0f(x)存定理 3.10 设函数f是定义在U(x0;')上的单调有界函数，则右极限limxx0在。

证：具体证明见教材。主要应用确界原理，确界的定义和单侧极限的定义加以证明。

最后，我们叙述并证明关于函数极限的柯西准则。

limf(x)A存在的充要条件是：定理3.1

1设函数f是定义在Uo(x0;')内有定义，xx0'任给0，存在正数()，使得对任何x',x”Uo(x0,)有|f(x')f(x“)|。

证明：[必要性] 设limf(x)A，则对任给0，存在正数(')，使得对任何

xx0。于是对任何x',x”Uo(x0,)有 xUo(x0,)有|f(x)A|2|f(x')f(x“)||f(x')A||f(x”)A|。

'[充分性] 设数列{xn}且以x0为极限。按假设，对任给的0，存在正数()，使得对任何x',x“Uo(x0,)有|f(x')f(x”)|。由于，对上述的0，存在N0，o当n,mN时有xn,xmU(x0;)，从而有

|f(xn)f(xm)|。

于是，按数列的柯西收敛准则，{f(xn)}数列的极限存在，记为 A，即limf(xn)A。

n设另一数列{yn}Uo(x0;)且limynx0，则如上所证，记为B。limf(yn)存在，nn现证明BA，为此，考虑数列

{zn}:x1,y1,,xn,yn,

易见{zn}Uo(x0;)且limznx0。故如上所证，{f(zn)}也收敛。于是，作为{f(zn)}n的两个子列，{f(xn)}，{f(yn)}必有相同的极限，故由归结原则推得limf(x)A

xx0注：（1）对于xx0,xx0,x,x,x这几种类型的函数极限的柯西准则，有类似的结论。（让学生课堂练习，教师加以评正。）



（2）对于xx0,xx0,xx0,x,x,x这几种类型的函数极限的柯西准则的否命题，学生也必须掌握。比如例1就可以应用柯西准则的否命题解决。

课后作业：习题2、3、5、7。