高中数学奥赛讲义：竞赛中常用的重要不等式_高中竞赛常用的不等式
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高中数学奥赛讲义：
竞赛中常用的重要不等式
【内容综述】
本讲重点介绍柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式的证明与应用
【要点讲解】
目录 §1 柯西不等式
§2 排序不等式
§3 切比雪夫不等式
★ ★ ★
§1。柯西不等式
定理1 对任意实数组
恒有不等式“积和方不大于方和积”，即
等式当且仅当
本不等式称为柯西不等式。
时成立。
思路一 证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。
证明1
∴右-左=
当且仅当 思路2 注意到 证明2
当
当定值时，等式成立。时不等式显然成立，当
时，不等式左、右皆正，因此可考虑作商比较法。
时等式成立； 时，注意到
=1
故
当且仅当
且
（两次放缩等式成立条件要一致）
即 同号且 常数，亦即
思路3 根据柯西不等式结构，也可利用构造二次函数来证明。
证明3 构造函数
由于。
恒非负，故其判别式
即有
等式当且仅当
若
常数时成立。
柯西不等式显然成立。
例1 证明均值不等式链：
调和平均数≤算术平均数≤均方平均数。
证 设
本题即是欲证：
本题证法很多，现在我们介绍一种主要利用柯西不等式平证明的方法
(1)先证
注意到
此即
由柯西不等式,易知②成立,从而①真 欲证①,即需证
②
①
(11)再证
欲证③,只需证, ③
而④即要证
④
⑤
(注意
由柯西不等式,知⑤成立.(Ⅰ)(Ⅱ)中等式成立的条件都是)
即各正数彼此相等.说明：若再利用熟知的关系(★)
（其中，结合代换，即
当且仅当式链
时，等式成立，说明★的证明参见下节排序不证式或数学归纳法，这样就得到一个更完美的均值不等
其中等式成产条件都是
§２．排序不等式
定理２设有两组实数，．
满足
则
(例序积和)（乱序积和）（须序积和）
其中是实数组时成立。
一个排列，等式当且仅当或
说明 本不等式称排序不等式，俗称
例序积和乱序积和须序积和。
证法一． 逐步调整法
首先注意到数组
也是有限个数的集合，从而也只有有限个不同值，故其中必有最大值和最小值（极端性原理）。
设注意下面的两个和
注意
S（★）
由小到大的顺序排列，最小的和就对应
只要适当调整，如★所示就可越调，可见和数Ｓ中最大的和，只能是对应数组数组从大到小的依序排列，不符合如此须序的越大（小），其中ｉ＝１，２„„，n。
证法＝ 设
由 则显见的一个k阶子集
等式当且仅当
式
即，时,成立
这就证明了乱序积和≤顺序积和
注意列
这里 含义同上，于是有，仿上面证明，得
又证明了例序积和≤乱序积和
综上排序不等式成立.例2 利用排序不等式证明柯西不等式：
其中
证 不失一般性，设得
（例序积和≤乱序积和)
相加即得
等式当且仅当；
为常数时成立。，则由排序不等式可
①
又∵算术平均值不大于平方平均值，（★）故
代入①，即得
平方后，即得柯西不等式
说明“算术平均≤平方平均”可用数学归纳法直接证明如下：
证（i）设n=2，则
（ii）设n=k时，显然成立
成立，即有
欲证n=k+1时，有
成立，只需证
考虑到归纳假设，只需证
（★）
而（★）是显然成立的,故n=k+1时命题成立,于是对证法就不存在循环论证之嫌，否则此证法是不宜的。
且n≥2时,命题成立,正是因为存大着不依赖柯西不等式证明“算术平均≤平方平均”的证明方法，例2的例3 利用排序不等式证明正数的算术平均数不小于几何平均数。
证 设，易见
构造数列，使
则由★知于是由排序不等式,有
(乱序积和)，(例序积和)
即
从而
其中等式当且仅当
时成立
说明 这里构造了两个数列值不等式的简捷、漂亮解法。
§3契比雪夫不等式
设
(i)若数算术平均数之积：(i=1,2„，n)
和为应用排序不等式创造了条件，得列一个证明均
则顺序积和的算术平均数不小于这两组
（ⅱ）若两组数算术平均数之积：；，则倒序积和的算术平均数不大于这
证明（i）由排序原理有
„„
迭加可得，，两边除以得
等式当且仅当
类似可证(ⅱ)成立
例4 设
证明 不妨令
由切比雪夫不等式，有；，求证，则
即
从而得证
说明 大家较熟悉的美国竞赛题
1979年青海赛题
1978年上海赛题
都是本例的特殊情况或变形。
本周强化练习：
★★★1．设
求的最小值
★★★2．若a、b、c是三角形三边长，s是半周长。求证：Vn∈N，下式成立
解答或提示
1．不妨令
由切比雪夫不等式
当且仅当 2．设a≥b≥c,则a+b≥a+c≥b+c,（）
