天津高考数学真题(附答案解析)_天津高考数学解析版

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2018年天津高考数学真题（附答案解析）

1.选择题(每小题5分，满分40分)：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.A.B.C.D.2.A.6 B.19 C.21 D.45 3.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为

A.1 B.2 C.3 D.4 4.A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 5.A.B.C.D.6.7.A.A B.B C.C D.D 8.A.A B.B C.C D.D 填空题（本大题共6小题，每小题____分，共____分。）

9..填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

10.11.已知正方体的棱长为1，除面分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥外，该正方体其余各面的中心的体积为____.12.已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B两点，则13.已知的面积为____.，且，则的最小值为____.14.已知，函数的取值范围是____.若关于的方程恰有2个互异的实数解，则简答题（综合题）（本大题共6小题，每小题____分，共____分。）

15..解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（本小题满分13分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知

.（I）求角B的大小；（II）设a=2，c=3，求b和16.(本小题满分13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？的值.（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.17.(本小题满分13分)如图，且AD=2BC，DA=DC=DG=2.,且EG=AD，且CD=2FG，（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：（II）求二面角的正弦值；；

（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.18.(本小题满分13分)设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，（I）求（II）设数列（i）求； 和，的通项公式； 的前n项和为，.，是等差数列.已知（ii）证明.19.(本小题满分14分)设椭圆坐标为，且(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为

.，点A的（I）求椭圆的方程；（II）设直线l：

与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若(O为原点)，求k的值.20.(本小题满分14分)已知函数（I）求函数（II）若曲线线平行，证明在点，其中a>1.的单调区间；

处的切线与曲线；

在点

处的切（III）证明当切线.时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的答案

单选题

1.B 2.C 3.B 4.A 5.D 6.A 7.C 8.A 填空题 9.4-i 10.11.12.13.14.(4,8)简答题 15.（15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分．（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理，得因为，可得B=

．，即，可得，又由，可得

．又（Ⅱ）解：在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=故b=．，有，由，可得，．因为a

．因此所以，16.（16）本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）解：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3． P（X=k）=（k=0，1，2，3）．

所以，随机变量X的分布列为

随机变量X的数学期望．

（ii）解：设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．

所以，事件A发生的概率为． 17.（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．

依题意，可以建立以D为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，0，2）．，1），N（1，（Ⅰ）证明：依题意的法向量，则=（1，CDE．

=（0，2，0），即

=（2，0，2）．设n0=(x，y，z)为平面CDE 不妨令z=–1，可得n0=（1，0，–1）．又，1），可得，又因为直线MN平面CDE，所以MN∥平面（Ⅱ）解：依题意，可得=（–1，0，0），=（0，–1，2）．

设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，则得n=（0，1，1）．

即 不妨令z=1，可设m=（x，y，z）为平面BCF的法向量，则m=（0，2，1）． 因此有cos=，于是sin=

即 不妨令z=1，可得

．

所以，二面角E–BC–F的正弦值为．

（Ⅲ）解：设线段DP的长为h（h∈［0，2］），则点P的坐标为（0，0，h），可得． 易知，=（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，故，由题意，可得=sin60°=，解得h=∈［0，2］．

所以线段18.的长为.（18）本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.（I）解：设等比数列因为，可得的公比为q.由，故

.，可得 故，数列的通项公式为

由，可得

.设等差数列可得所以数列的公差为d，由 从而的通项公式为（II）（i）由（I），有，故

.（ii）证明：因为，所以，.19.（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解：设椭圆的焦距为2c，由已知知可得，，由，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知，可得ab=6，从而a=3，b=2．

所以，椭圆的方程为．（Ⅱ）解：设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故

．又因为，可得5y1=9y2．，而∠OAB=，故

．由由方程组消去x，可得．易知直线AB的方程为x+y–2=0，由方程组

消去x，可得．由5y1=9y2，可得5（k+1）=，解得，或

．，两边平方，整理得所以，k的值为20.（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.（I）解：由已知，令，解得x=0.，的变化情况如下表：，有

.由a>1，可知当x变化时，所以函数的单调递减区间，单调递增区间为，可得曲线

在点

.处的切线斜率为（II）证明：由.由，可得曲线在点处的切线斜率为.因为这两条切线平行，故有，即.两边取以a为底的对数，得，所以.（III）证明：曲线在点处的切线l1：.曲线在点处的切线l2：.要证明当只需证明当时，存在直线l，使l是曲线时，存在，的切线，也是曲线，使得l1和l2重合.的切线，即只需证明当时，方程组有解，由①得，代入②，得.③

因此，只需证明当时，关于x1的方程③有实数解.设函数在零点.，可知又

时，即要证明当时，函数存

；时，单调递减，即

.由此可得大值因为.，故，在上单调递增，在，故存在唯一的x0，且x0>0，使得，上单调递减.在处取得极所以.下面证明存在实数t，使得由（I）可得，.当时，有所以存在实数t，使得因此，当时，存在，使得

.，所以，当 时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.