函数极限的求法(正文)（材料）_常用函数极限的求法

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目录

0.引言..........................................................1 1.函数极限的定义................................................1 2.一元函数极限的求法...........................................3 2.1 利用函数极限定义求极限..................................3 2.2 利用恒等变形和极限运算法则求极限........................4 2.3 利用迫敛性求极限........................................4 2.4 利用两个重要极限及其推导公式求函数极限..................5 2.5 利用洛必达法则求解......................................6 2.6 利用函数的连续性质求解..................................7 2.7 利用等价无穷小量代换求解................................8 2.8 利用导数的定义求解......................................8 2.9 利用泰勒公式求极限......................................9 2.10 利用微分中值定理求极限................................10 2.11 利用积分中值定理求极限................................10 2.12 利用瑕积分的极限等式求极限............................11 3.二元及多元函数极限的解法....................................11 3.1 利用二元函数的连续性求解...............................12 3.2 利用极限的运算法则求解.................................12 3.3 利用不等式，使用夹逼法则求解...........................12 3.4 变量替换化为已知极限，或化为一元函数的极限求解.........13 3.5 利用恒等变形法求解.....................................13 3.6 利用两个重要极限求解...................................14 3.7 利用等价无穷小代换求解.................................15 3.8 利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小的结论求解.......16 3.9 利用二重积分来计算二元函数的极限.......................16 3.10 利用极坐标变换求解....................................17 3.11 利用二元函数的泰勒展式求解............................17 4.总结........................................................18 致谢...........................................................18 参考文献.......................................................20

函数极限的求法

0.引言

极限描述了数列和函数在无限变化中的一种趋势，它体现了从近似认识精确，从有限认识无限，从量变认识质变的数学思想。在数学分析和微积分学中，极限的概念占有重要的地位并以各种形式出现且贯穿全部的内容。极限理论又是研究连续，导数，积分，级数等的基本工具，是微积分的理论基础。极限的计算在解决许多实际问题中不可缺少。因此，掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分学的关键一环。

对于如何求极限，怎样使求极限变得容易，这是让绝大多数学生较为头痛的问题。我们如何在准确理解极限的概念、性质和极限存在条件的基础上，灵活巧妙的运用各种不同的方法解决有关极限的实际问题。本文针对一元函数和二元函数极限，对它们的求解方法进行了归纳总结。

1.函数极限的定义

定义1 设函数f(x)在Uo(x0,)(x0的空心邻域)内有定义,A为一个确定的常数, 若对任给的正数,总存在某一正数, 使得当0xx0时, 都有f(x)A, 记作:limf(x)A或f(x)A(xx0), 称f(x)当

xx0xx0时以A为极限.或简单地写成: xx0limf(x)A0,0，使得x,当0xx0时,总有f(x)A.0x0,（或U0x0,）内有定义,A为定数, 若定义2 设函数f(x)在U对任给的0, 存在正数, 使得当x0xx0（或x0xx0）时有

f(x)A, 则称数A为函数f(x)当x趋于x0（或x0）时的右(左)极限.记作: f(x)Af(x)xlimx0Af(x)和f(x)Axlimx0A, 或者记作:

f(x)Axx0和f(x)Axx0.右极限与左极限统称为单侧极限。定义3 设f为定义在DR2上的二元函数,P0为D的一个聚点,A是一个确定的实数。若对任意的正数0, 总存在某正数, 使得当PUoP0;D时, 都有fPA，则称f在D上当PP0时, 以A为极限, 记作：

PP0PD limfPA

（1）当P,P0分别用坐标x,y,x0,y0表示时, 在不产生误解时, 1式也常写作：

x,yx0,y0lim fx,yA

（2）定义 4 设Ex,EyR , x0是Ex的聚点, y0是Ey的聚点, 二元函数f在集合DExEy上有定义, 若对每一个yEy,yy0, 存在极限xx0xExlimfx,y, 由于此极限一般与y有关, 因此记作

ylimfx,y

xx0xEx而且进一步存在极限 Llimy

yy0yEy则称此极限为二元函数f先对xx0后对yy0的累次极限, 并记作：

Llimlimfx,y，yy0xx0yEyxEx或简记作：

Llimlimfx,y.yy0xx0类似地可以定义先对y后对x的累次极限:

Klimlimfx,y.xx0yy02.一元函数极限的求法

求一元函数极限使高等数学的基本运算之一，能够合理运用解决函数极限的方法至关重要。对求于函数极限问题，从不同的角度思考，从不同角度分析，能得出各种不同的方法。

2.1 利用函数极限定义求极限

利用函数极限的定义以及不等式证明方法,关键是找出和的函数表达式,满足函数极限定义中的要求。

x212.例1 证明limx1x1分析：用“-”定义验证limf(x)A的过程，就是根据给出的找的过程，xx0就是解不等式的过程。将f(x)A经适当的变化（如放大等）0xx0()为为止（()表示仅与常数和有关的表达式），这里()

证明：这里,函数在点x1是没有定义的,但是函数当x1时的极限存在或

x212约不存在与它有没有定义并无关系。事实上, 0 ,不等式

x1去非零因子x1后就化为x12x1,因此只要取,那么当x212.0x1时,就有x1所以由函数极限定义知：

x21lim2.x1x12.2 利用恒等变形和极限运算法则求极限

恒等变形通常是利用提取出因式约简分式, 分子或分母有理化及三角函数变换等。利用极限运算法则时则应特别注意法则的适用条件即各项极限存在且和, 积运算只能推广出有限项。

例2 求lim1tanx1sinx.x(1cosx)x0分析：当x0时，分母x1cosx0，显然不能运用极限运算法则进行处理，但在x0的过程中，x0，所以在所求的极限公式中可约去不为零的公因式，在求解中所用的方法就是对分子、分母进行合理的因式分解，约去产生奇异的因子，从而达到化简求解的目的。解：原式lim1tanx(1sinx)

x(1cosx)1tanx1sinxx0sinxsinx1cosx lim limx01tanx1sinxx0x(1cosx)1sinx11 limlim.2x0xx0cosx22.3 利用迫敛性求极限

利用迫敛性求极限，就是利用所谓的夹逼定理，通过确定两端式子的极限来求解所要求解的极限值。给出夹逼定理：若函数f(x)满足h(x)f(x)g(，x)且limh(x)limg(x)A，则limf(x)A.xx0xx0xx01111 例3 证明lim222xx2xxx1分析：本题函数为无穷级数和的形式，不易用一般方法简单的求出极限值，故在这里考虑h(x)xxx2与g(x)xx12的极限值。

证明：利用放缩思想，容易看出

xxx21x121x221xx2xx12

而

limxxx2xlim111xx1，limxx12xlim111x2x1，于是由两边夹准则知：

1lim2xx11x221.2xx12.4 利用两个重要极限及其推导公式求函数极限

Ⅰ第一个重要极限：limsin(x)sinx1.1；其变形为：lim(x)0(x)x0x1xx0Ⅱ第二个重要极限：lim1xe；其变形为：lim1(x)(x)0(x)1(x)e

11或者lim1e；其变形为：lim1(x)xx(x)xe.sinx2例4 求lim.x0x 5 分析：先判断类型，当x0时sinx20，故所求极限是“

0”型，且不能0消去零因子，现在我们利用第一个重要极限求解。令(x)x2，通过变形可得sinx.xsinx2sinx2xlimx100.解：原式limlimx0x0x0xx

例5 求lim(cosx)x0sin2x2.分析：先判断类型，因为cosx1,x0，故知是“10”型，且不能消去零x，可化简的第二个重要极限的形式，现在我们利用第2二个重要极限求解。因子，令(x)sin2xsin22解：原式lim(12sin)x022x1xsin2222xlim1(2sin)e2.x0222.5 利用洛必达法则求解

这是目前最常用的求极限的方法之一，最好能与等价无穷小替换相结

0合，以减少求导的次数。常见的未定式有：型，型，1型，0型，000型，型，后四种未定式能化成前两种基本型型和型

0下面是形式语言的变换：

0（1）0

或 0.110（2）①12110201.01020102 6  ②121121121.11（3）①1eln1eln1ee0ln0eln11ln010.②0e0ln00.③0eln0e0lneln10.1cos3x例6 求极限lim.xsinx分析：当x时，1cos2x0，sinx0，显然是洛必达法则进行求解。

0型，故可直接使用01cos3x1cos3x3cos2xsinxlimlim解： lim 'xxxsinxcosxsinx' lim3cosxsinx 3cossin0.x2.6 利用函数的连续性质求解

若f(x)在x0连续，则知limf(x)f(x0)，即求连续函数的极限，可归

xx0结为计算函数值。常见有以下几种形式：(1)设f(x)在xa处连续，若

xaxalimxnan，则limf(xn)f(limxn)f(a)及limf(x)f(limx)f(a)。

nn(2)设limu(x)A0，limv(x)B，u(x)、v(x)在xa处连续,则

xaxalimu(x)v(x)limev(x)lnu(x)eBlnAAB.xaxa 7

例7 求极限limln27x6.x16解：因为f(x)ln27x6是初等函数，在定义域,内是连续的，所以

7在x1处也连续，根据连续的定义，极限值等于函数值。所以

limln27x6f(1)ln2760.x12.7 利用等价无穷小量代换求解

定理:设在自变量的某一变化过程中，,,,均为无穷小，又,且 lim1A，则lim1lim1A.例

x如：当x0时，有⑴sinx~x，⑵arcsinx~x，⑶tanx~x，⑷e-1~x，11112xn⑸ln1x~x，⑹1cosx~x，⑺arctanx~x，⑻1x-1~2n例8 求极限lim12tanxx0.21xln(1x).解：当x0时，12tan2x~2x2，xln(1x)~x2.故

lim12tanx2x01xln(1x)12x2lim12xx0e2.2.8 利用导数的定义求解

利用导数的定义求极限，一般可得lim法要求熟练掌握导数的定义及性质。

例9 若函数f(x)在xo点处可导, 且f(x0)3，求极限：

h0fx0khf(x0)kf(x0)，此方

hlimh0fx05hf(x0).h解：由于f(x)在x0点处可导, 若令x5h，则

limh0fx05hf(x0)hlimh0fx0xf(x0)x55f(x0)15.2.9 利用泰勒公式求极限

如果函数f(x)在含x0的某个开区间a,b内具有直到n1阶导数, 即fDn1a,b, 那么对于xa,b, 有

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)11nnf(x0)(xx0)2f(x0)(xx0)no(xx0)2!n!这就是泰勒公式。

这是一种非常有效的方法，它实际上已包含了洛必达法则的求解方法，0利用泰勒公式求“ ” 型极限是一种重要而有效的方法, 因为有些此类不0定式运用洛必达法则需要连续几次求导, 但用此法较为方便。

例10 求极限lim1ex0x2x2.分析：首先要求掌握复合函数的泰勒展式，注意先展里层函数，再展外层函数。其次要把握好将函数展开到适当的阶数。本题中很明显，分母是2阶无穷小量，因此，需将函数1ex展开到2阶泰勒公式带皮亚诺余项。解：由泰勒公式可知

ex1x121xxnoxn 2!n!2所以

ex1x2ox2

2因此1ex11x2ox2limlim1.x0x0x2x222.10 利用微分中值定理求极限

若f(x)连续, 那么fbxfaxfaxbxax, 于是

bxaxlimx0fbxfaxlimfaxbxaxfa0，x0bxaxx0x0其中01，limaxlimbxa0（主要是利用拉格朗日中值定理）.etanxex例11 求极限lim.x0sinxxcosx分析：利用拉格朗日中值定理：etanxexetanxx，在tanx与x之间，且sinxxcosxcosxtanxx.elim1.解： 原式limx0cosxtanxx01etanxx2.11 利用积分中值定理求极限

积分中值定理：

设fx在a,b上连续, 则a,b, 使得fxdxfba。积分

ab中值定理的推广形式是, 设fx在a,b上连续, gx在a,b上不变号, 则a,b, 使得fxgxdxfgxdx.aabb

例12 求极限limxn2xdx.x01解：limxx01n2xdxlim2xndxx011lim20xn

1，01.2.12 利用瑕积分的极限等式求极限

命题 设fx在a,b上连续，a是fx的瑕点且瑕积分fxdx收敛，abibaba则等式fxdxlimfa成立。annni1bn

n例13 求极限lim解：因为 nn!.nn!1ni1nnlnlnn!lnnlninlnnln.nni1ni1nn而函数fxlnx在0,1上连续，x0是fxlnx的瑕点，且瑕积分

111于是由上面命题，有 0lnxdxxlnx|dx1．

001n!1nilimlnlimlnlnxdx1，nnnnn0i1n进而有：

nlimnn!limennnlnn!nenlimlnnn!n1e1.e

3.二元及多元函数极限的解法二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，两者之间既有联系又有区别。由于变量个数的增加，二元函数极限的求法比一元函数极限的求法要复杂得多，但一元函数极限的基本运算在二元函数极限的运算中同样适用。因此，可将一元函数的计算方法推广至二元函数。

3.1 利用二元函数的连续性求解

由二元函数连续的性质可得以下命题 命题 若函数fx,y在点x0,y0处连续，则例14 求极限lim1

x2y21x,yx0,y0limfx,yfx0,y0.x1y2解：由函数连续的定义不难证明函数fx,y故

limx1y21在点22xy11,2处连续.111f1,2.2222xy112143.2 利用极限的运算法则求解

例15 求极限lim解：

limsinxysinxysinxylimylimlimy1.x0x0x00xxyxyxy1y1y1y1sinxy.x0xy1

3.3 利用不等式，使用夹逼法则求解

例16 求极限limxy.xx2xyy2y 12 解： 由不等式x2y22xy，得到

0xyxy11xy 2222xxyyxyxyxyxy又

11lim0

xxyy所以：

limxy0.xx2xyy2y3.4 变量替换化为已知极限，或化为一元函数的极限求解

通过变量代换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算，从而使二元函数的极限变得简单。

例17 求极限limx0y0xysinxy.xyxycosxy解：设xyt，因0xy12xy2.2故当x0,y0时，t0则

原式limt0tsinttsint1sintsint12lim2lim2lim.t0t0t06t2t1costt23t23

3.5 利用恒等变形法求解

将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等，以约去零因子或无穷大因式。例18 求极限lim解： 2xy4.x,y0,0xy2xy42xy42xy4limlimx,y0,0x,y0,0xyxy2xy4

x,y0,0limxyxy2xy412xy414.x,y0,0lim

3.6 利用两个重要极限求解

1sinux,ylim1；lim1ux,yux,ye.ux,y0ux,yux,y0它们分别是一元函数中两个重要极限的推广，其中x,yx0,y0时，ux,y0，视ux,y为新变量t，考虑极限过程t0.例19 求极限lim解：

x,y0,0x,y0,02xsinx2y2

x2y2lim2xsinx2y2xy22x,y0,0lim2xx,ylim0,0sinx2y2x2y2

2012.1例20 求极限lim1xxyyax2xy.解：

1lim1xxyyax2xyxy1lim1xxyyax2xyxy

而

x211limlim xxyxyxyayaya1yx故

xy1原式lim1xxyyax2xyxye.1a3.7 利用等价无穷小代换求解

一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数。在二元函数中常见的等价无穷小ux,y0，有

⑴ sinux,y~ux,y；

⑵ 1cosux,y~12ux,y； 2⑶ ln1ux,y~ux,y；

⑷ tanux,y~ux,y； ⑸ arcsinux,y~ux,y； ⑹ arctanux,y~ux,y； ⑺ nux,y-1~1ux,y； ⑻ eux,y-1~ux,y.n同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用。

例21 求极限limsinxy.x,y0,0x 15 解：由x,y0,0；可知sinxy~xy.故

sinxyxylimlimy0.x,y0,0x,y0,0xx,y0,0xlim

3.8 利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小的结论求解

sinx2y例22 求极限lim2.x0xy2y0解：

sinx2y因为lim2x0xyy0令ux2yx2y1sinux lim1，2u0xy22u

所以

原式limx0y0sinx2yx2yx2y20.2xy3.9 利用二重积分来计算二元函数的极限

例23 求极限

n1n2lim(111111n11n21n11n22n11n2n2111111)n12n22n12n23n1n1n2n2

解：原式可化为

1limn1nn12i1j1n1n2111n2ij1n1n2D11ln22 1x1y其中D为0x1,0y1.3.10 利用极坐标变换求解

xcos设ykx,求极限，若结果与k有关，或设，求极限；若结

ysin果与有关，则二重极限不存在；若结果与k或无关，则二重极限可能存在，这时还要进一步证明所得极限就是所求的二重极限。

xyx2y2例24 求极限lim.x0xyy0解：设ykx，则

xyx2y2xkxx2k2x21klimlim，x0x0xyxkx1ky0y0极限与k有关.xcos或设

（为变量，为参数）

ysinxyx2y2cossin2cossinlimlim x00xycossincossiny0极限与有关 故原式极限不存在.3.11 利用二元函数的泰勒展式求解

例25 求极限limcosxycosxcosy.x0xyy0解：把cosxycosxcosy在0,0点展开得：cosxycosxcosyxyox2y2

所以

limcosxycosxcosyxylim1.x0x0xyxyy0y04.总结

一元函数的极限求法基本可以归纳为以下几种方法（1）利用函数极限的定义求极限。（2）利用恒等变形和极限运算法则求极限（3）利用恒等变形和极限运算法则求极限（4）利用迫敛性求极限（5）利用两个重要极限及其推导公式求函数极限(6)利用洛必达法则求极限（7）利用函数的连续性质求极限（8）利用等价无穷小量代换求极限（9）利用导数的定义求极限（10）利用泰勒公式求极限（11）利用微分中值定理求极限(12)利用积分中值定理求极限（13）利用瑕积分的极限等式求极限。

二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，虽然二元函数极限的求法比一元函数极限的求法要复杂得多，但一元函数极限的基本运算在二元函数极限的运算中同样适用。因此，又可将一元函数的计算方法推广至二元函数。

致谢

弹指一挥间，大学四年已经接近了尾声。这次毕业设计得到了很多老师、同学和同事的帮助，其中我的导师郑绿洲老师对我的关心和支持尤为重要，每次遇到难题，我最先做的就是向郑老师寻求帮助，而郑老师每次不管忙或闲，总会抽空来找我面谈，然后一起商量解决的办法。

此片论文得以完成,首先要感谢郑绿洲老师的细心指导。郑老师开阔的视野，为我提供了极大的发挥空间，在这段时间里让我明白了做任何事情要严谨细致、一丝不苟，对人要宽容、宽厚，郑老师宽厚待人的学者风范更是令我无比感动。感谢各位老师在这几年一直在生活中、组织上给予我的教导和无私的帮助，让我在湖北师范学院学院这个大舞台上有锻炼的能力、自我完善的平台。在此文即将完成之际，我衷心的感谢在此过程中帮助过我的每个人，在这里请接收我最诚挚的谢意！

由于时间仓促、自身等原因，文章错误疏漏之处在所难免，恳请各位老师斧正。参考文献

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