新高一竞赛不等式入门讲课讲稿_不等式与不等式组讲稿

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均值不等式，柯西不等式及不等式技巧

2017.7.18

东北育才学校

王文昊（QQ:2609667791）

以下内容未特殊说明默认为正数

7.已知;xyz3,求: 8.求证：

111的最小值 2x12y12z1xyz3 yzxzxy2a2b2c2d2abcd9.证明：

b2c13dc2d13ad2a13ba2b13c16

10.已知a,b,c为三角形三条边，证明:abc(abc)(acb)(bca)

3.换元法

有人说换元是一种逃避，但换元可以让你看到一个式子的本质，你就可以更方便的去做题。先给出常用的换元（1）abc1 ；axyxxzyzyza；

bcbcz2yy2x2zx1a231（2）xyzxyxzyz ；yb ；可得abacbc

421zc2x（3）比如a(0,1),换元后：x1-a（0，)这样就很好的去掉了限制条件 a（4）涉及到三角形三边a,b,c 的不等式时，常常用代换：ayz bxz cxy 同学们要在做题中多积累换元方法 例3：已知:abc1,求证:

练习3：求

1111 12a12b12ca3c4b8c的最小值

a2bcab2cab3c

4.局部法：用局部法证明不等式关键是要找到局部，而这个局部有时候比较难找，可以结合待定系数法来找到局部不等式，这招可以极大程度上降低一个不等式的复杂程度。

a3b3b3c3a3c3abc 例4：证明：2ab2b2c2a2c2

练习4：证明：

1111

a3b3abca3c3abcb3c3abcabc

5.构造法

构造可以有很多种，你可以构造图像，构造函数，甚至是构造抽屉，用抽屉原理解决不等式问题，等等。以下的例题我告诉你要去构造，就看起来相对简单。真正运用时，能自己想到要去构造才算真正学明白。

例5-1：已知a,b,c(-2,1)，证明：abc>abc2

22例5-2：证明xxyyx2xzz2>y2yzz2

例5-3：证明：(a22)(b22)(c22)3(abc)2

练习5：证明:对任意三角形ABC，有x2y2z22xycosC2xzcosB2yzcosA

6.展开法

当我们用柯西或均值对所要求不等式进行放缩时，往往会出现放过的情况，这就是所谓的反号了，初学不等式出现反号很正常。但有些时候，无论你怎么小心，都会出现反号，也就是说这个不等式比较强。对于分式不等式，当你无可奈何时，你不妨将其展开，看其本质。我们先引进几个简写的概念：

aabc ababacbc 等等；展开时用;表示可以大大减少书写量，而且如果你背下来几个常用的展开式，你展开的速度就更快了:(a)2a2ab(a)3a33ab(ab)6abc;(a)(ab)ab(ab）3abc；还有很多，需要你在做题中多总结。

例6：证明:

xyz3 yzxzxy2

练习6：已知xyz1,证明:xyxzyz2xyz7 27

2233332222223

练习3:求最大实数c，使得对于所有的实数x,y满足：x2y2xy1c(xy)

4.探索法

我们上面讲的大多是三元不等式，而考试中出现多元不等式的概率较大。其实，三元不等式和多元不等式有很多相通之处，三元不等式有时就是多元不等式的特例。所以，当我们遇到多元不等式时，不妨从二元，三元开始探索，然后进行推广，往往会有意想不到的收获。

ai2例4：设nN，a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn为正实数，且ai1,bi1。求i1i1i1aibinnn的最小值。

练习4:设a1,a2,...,an大于0（n2），且a1a2...an1，求证：aa1an 2...n2a12a22an2n1

5.增量法

增量，顾名思义就是增加变量，但增加变量的目的不是使题目更复杂，而是去化简题目和应用题中的条件。然而，增量也有缺点，会使题目的计算量增大，所以需要同学们化简时要细心，有恒心！例5：证明

练习5：证明：x(xy)(xz)y(yx)(yz)z(zx)(zy)0

1114

(xy)2(yz)2(zx)2xyxzyz

第五部分 赛题选讲

1.已知abc1,证明：a2b2c223abc1

2.已知abc1，证明：

111222 1-a1b1c1a1b1c333.证明：abcabcabcabc 5553a2b2c234.证明：

(ab)(ac)(ba)(bc)(ca)(cb)45.已知三角形ABC三边分别为a,b,c,面积为S，证明：abc43S

2226.已知x>y0，证明：x43

(xy)(y1)2ab12 b4a427.已知a,b>0，且abab,证明：28.求证:aa8bc522bb8ac522cc8ab5221

9.证明：(aa3)(bb3)(cc3)(abc)

310.已知abc1,证明：1113

b(ab)c(bc)a(ac)2