不定积分,二元函数的定义域,极限,方向导数和梯度_求二元函数的方向导数

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不定积分、二元函数的定义域、极限、方向导数和梯度

一、定积分及应用

⒈了解定积分的概念；知道定积分的定义、几何意义和物理意义；了解定积分的主要性质，主要是线性性质和积分对区间的可加性，ba(f(x)g(x))dxbabbaf(x)dxbag(x)dx

cf(x)dxcf(x)dxa

(c为常数)

还应熟悉以下性质

baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx

baf(x)dxf(x)dx

baaaf(x)dx0

例题：

1．利用定积分的几何意义，说明下列等式：(1)2xdx1;01(3)sinxdx0.解答：

（1）表示的是：由y轴，直线x1和直线y2x所围成的三角形的面积是1。（2）表示的是：由x轴，曲线ysinx和直线x所围成的图形上下的面积相等。2．根据定积分的性质，说明下列积分哪一个的值较大：(1)xdx还是01210xdx?23(2)xdx还是12 xdx?1321解答：（1）因为在区因为在区间[0，1]上，xx，因此有：023xdx210xdx?3

（2）在区间[1，2]上，x2x3，因此有：12xdx221xdx3

⒉了解原函数存在定理；会求变上限定积分的导数。

若G(x)(x)af(t)dt，则

G(x)f((x))(x)

⒊熟练掌握牛顿——莱布尼茨公式，换元积分法和分部积分法。

例题：估计积分(x1)dx.的值：

142解答：(x1)dx(ab2x33x)|bab33b(a33a)，因此

41(x1)dx21324.22.计算.解答：

⒋了解广义积分的概念；会判断简单的广义积分的收敛性，并会求值。

a10dxpxdxxp当p1时收敛，当p1时发散；

当p1时收敛，当p1时发散。

⒌掌握在直角坐标系下计算平面曲线围成图形的面积；会计算平面曲线围成的图形绕坐标轴旋转形成的旋转体体积。

由曲线yf(x)和yg(x)及直线xa,xb围成的面积S，有

Sbaf(x)g(x)dx

对于对称区间(a,a)上的定积分，要知道

当f(x)为奇函数时有

当f(x)为偶函数时有

a－aa－af(x)dx0

f(x)dx2f(x)dx20a0－af(x)dx

例题： 1.计算正弦曲线y = sinx在[0, ]上与x轴所围成的平面图形的面积.解答：

2．计算对弧长的曲线积分之间的一段弧.解答：L.yds,其中L是抛物线yx上的点（0，0）与点(2,42)2Lyds20x14xdx2182014xd4x222136

3.利用定积分定义计算由及横轴所围成的图形的抛物线yx1,两直线xa、xb(ba)面积.解答：(x1)dx(2abx33y2x)|bab33b(a33a)

练习：求椭圆答案：6。x2941所围成的图形面积.6.理解二重积分的定义、几何意义；会计算二重积分

例题：计算二重积分：

(1)xyd,其中D是由直线x0、y0、xy1所围成的闭区域；

D(2)Dexy22d,其中D是由圆周xy1所围成的闭区域.x2xx22322解答：（1）xydD2210dx21x0xydy10dx124,（2）eDxyd10dr0ed2(e1),r二、二元函数的定义域

要求：会求二元函数的定义域 例题：

1．求下列各函数的定义域：(1)zln(yx)x1xy(2)uRxyz222222;1xyzr2222

(Rr0).解答：（1）要使函数有意义必须满足：

yx022，这样函数的定义域为：{(x,y)|yx,x0,xy1.} x0221xy0（2）要使函数有意义必须满足：Rxyz0,xyzr0,即

{(x,y,z)|r222222222xyz222R}2

练习：求函数zxy1y的定义域。

答案：{(x,y)|xy,y0} 2．已知函数f(x,y)x2y2xytanxy,试求f(tx,ty).解答：将tx,ty分别代替原函数自变量x,y的位置，通过计算我们得到：原式=t2f(x,y)3．已知函数f(u,v,)uuv,试求f(xy,xy,xy).解答：将xy,xy,xy分别代替原函数自变量u,v,w的位置，通过计算我们得到： 原式=(xy)xy(xy)2x

练习：设f(x,y)x2xyy2sin答案：t2f(x,y)。

yx,则f(tx,ty)=？

三．二元函数的极限

从形式上讲，一元函数与二元函数的极限没有多大区别。limfxA是指，对于任

xx0意给定的正数，总存在正数，当0xx0时，恒有fxA.limfPAPP0是指，对于任意给定的正数，总存在正数，当0PP0时，恒有fPA。但是在二元函数的极限中PP0要比一元函数极限中xx0复杂的多，对xx0，x趋向x0的方式虽然是任意的，但它毕竟是在x轴上变化而已，可是对PP0，P趋向P0的任意方式却是在平面上变化，因此PP0要比xx0多样化。

例如：沿着所有过P0的直线趋向P0是PP0的一种特殊方式，又例如沿着所有过P0的抛物线趋向P0也只是PP0的一种特殊方式，还有其他的PP0的方式，这就一元函数与二元函数的极限的重要区别。例题：

1.求极限：(1)lim(xy)exyxx1y2;

(2)limsinxy()yx2y0;

解答：（1）原式=12e1123e2

（2）此题与上题不一样，因为当y0时，分母趋于零，所以我们需要先对y求导，sin(xy)y即

limx2y0limxcosxy()2。

x2y0练习：(1)lim1xyxyxy22;(2)limln(xe)xy22yx0y1x1y0;(3)lim2xy4xyx0y0;

(4)limx0y0xy11;(5)lim1cos(xy)(xy)e22xy2222x0y0.14答案：（1）1；（2）ln2；（3）（4）（5）先对x, 后对y求导，然后可算出：分别为,2，

四、方向导数和梯度

定理：若函数f在点P0x0,y0,z0可微，则f在点P0处沿任意方向l的方向导数都存在，且

flP0fxP0cos+fyP0cos+fzP0cos，其中cos，cos，cos为方向余弦。

对于二元函数fx,y来说，相应的结果是

flP0fxx0,y0cos+fyx0,y0cos，其中,是平面向量l的方向角。

梯度的定义：若函数f在点P0x0,y0,z0存在对所有自变量的偏导数，则称向量（fxP0，fyP0，fzP0）为函数f在点P0的梯度，记作：

gradf（fxP0，fyP0，fzP0）

向量gradf的长度（或模）为

gradf例题：

1．求函数zxy在点（1，2）处沿从点（1，2）到点(2,2解答：方向l=21,222fxP0fyP0fzP0222

3)的方向的方向导数.32=1,3，易见z在点P0（1，2）可微，故由fxP02

，fyP04，及方向l的方向余弦：cos2113212，cos32

所以函数zxy在点（1，2）处沿从点（1，2）到点(2,21232223)的方向的方向导数为

zl（P0）=24=123 2．问函数fxy2z在点P0（1，－1，2）处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值.解答：因为f在点P0的梯度方向是f的值增长最快的方向，且沿这一方向的变化率就是梯度的模，又fxP02，fyP04，fzP01，所以gradf2i4jk是方向导数取最大的方向，此方向导数的最大值是|gradf|21。

练习：函数zx2y2在点（1，1）处沿从点（1，1）到点（3，2）方向的方向导数解答：5

zl?