第十四讲多元函数的极限与连续_多元函数的极限与连续

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第十四讲多元函数的极限与连续.1 多元函数极限与连续的基本概念

对多元函数的研究，主要以二元函数为代表，对多于两个变元的函数，基本上与二元函数相似．要讨论二元函数，就要涉及它所定义的平面点集问题，这正如要讨论一元函数就要研究实数点集一样．

一、关于平面点集．点 P0x0,y0的邻域

对0，称点集x,y|xx0,yy0为P0点的方形邻域；称点集

．通称为P0点的邻域，xx02yy022为P0点的圆形邻域（它们是等价的）记作P0;，简记为P0，空心邻域记为 0P0.2 ．点与点集之关系 PR2为一定点，ER2为一点集．

(1）内点：若0，使 P;E，则称P为 E 的内点． E 的所有内点所成之集称为 E 的内部，记为 intE.(2）外点：若0，使 P;E，则称P为 E 的外点．

CC(3）界点：若0，有 P;E，且P;E（其中厂为E的余集），则称P为 E 的边界点，简称为界点． E 的所有界点所成之集称为 E 的边界，记为E

0(4）聚点：若 0，有P;E，则称P为 E 的聚点． E 的所有聚点所

'成之集称为 E 的导集，记为E．

0(5）孤立点：若PE，且0，使P;E，则称P为 E 的孤立点． ．一些重要的平面点集

(1）开集：若intEE，则称 E 为开集．

(2）闭集：若EE，则称 E 为闭集，(3）连通集：若 E 内任意两点之间都可用一条完全含于 E 内的有限折线相连接，则称 E 为连通集．

(4）开域：连通的开集称为开域．

(5）闭域：开域连同其边界所成点集称为闭域．

(6）区域：开域、闭域或开域连同它的部分边界所成的点集通称为区域．

(7）有界集：若r0，使得EO,r(O 为坐标原点），则称 E 为有界集． '（8）无界集：若 r0，使得EO,r(O 为坐标原点），则称 E 为无界集．

(9）点集的直径：dEsupP,Q（其中 p 表示距离）

O,QE4.R的完备性．

与实数的完备性一样，R也是完备的．刻画实数完备性的定理也可推广到R中来．(l）点列的极限：设Pnxn,ynR2，为一点列，P0x0,y0R2 为一定点，若对 当 n > N 时，恒有Pn,P0，则称Pn收敛于P0，记为limPnP0 0,N0，n222注：limPnP0limxnx0,limyny0．

nnn(2）柯西准则：点列Pn收敛对 0,N0，当n , m > N 时，恒有Pn,Pm·

(3）闭域套定理：设Dn是R中的闭域列，满足：

2① DnDn1,n1,2,...；

②limdn0dndDn;

n则存在唯一的点P0Dn,n1,2,...(4）聚点定理：设 E 为有界无穷点集，则必有聚点． 推论：有界无穷点列必有收敛子列．

(5）有限覆盖定理：设 D 为有界闭域，Ha|a,aI为开域｝，若 H 覆盖了 D，则必有有限个开域覆盖了 D , 即iD.i1n例 14.1 设ER为一点集，Axa,ya为 E 的内点，Bxb,yb为 E 的外点，证明：2连接 A , B 的直线段必与 E 的边界E 至少有一个交点．

证明：记xaxbl1,yaybl2．取线段 AB 的中点 C xc,yc，若CE，则结论已成立．否则 A 与 C 或 B 与 C 必有一对是一内一外的．将它们记为A1x1,y1，bb．则显然：

B1x1,y1aa① x1,x1xa,xb,y1,y1ya,yb； ababb② x1x1al1al,y1y1b2． 22重复以上步骤，若有某次取的中点CnE，则证明结束，否则这一过程一直进行下去，aa得到两个点列Anxn,yn , Bx,y满足：

nbnbnabababab① xn,2,... 1,xn1xn,xn,yn1,yn1yn,ynn1② xnxnabl1l2ab,yy nn2n2nabab由实数的闭区间套定理必存在唯一的x0xn,xn,y0yn,yn,n1,2,...,下证

P0x0,y0E．事实上，假设不是如此，则P0要么属于 E 的内部，要么属于 E 的外部，不妨设它属于 E 的内部，由开集的定义，0，使得P0;E由区间套定理，aa对上述的,N0，当 n > N 时，Anxn,ynP;,Bx,yP;，此

0nbnbn0与我们的取法矛盾，即必有P0x0,y0E二、二元函数及极限

（一）二元函数．二元函数定义

若厂是从DR到实数集R上的一个映射，则称f是一个二元函数，D 为f的定义域，2fDR 是其值域．记为zfx,y,x,yD..n 元函数定义

若f是DR到实数集R上的一个映射，则称 f 是一个 n 元函数，D 为f的定义域，2fDR是其值域．记为yfx1,x2,...,xn,x1,x2,...,xnD.k 一次齐次函数

若函数uftx1,tx2,...,txntkfx1,x2,...,xn则称f为k一次齐次函数。如

xfx,yx2y2xytan是2一次齐次函数

y

（二）二元函数的极限．二重极限

(l）定义：设f定义在DR上的二元函数，P0为 D 的聚点，A是一个定常数，若对

20,0，使当 P0P0;D 时，有fPA，则称 f 在 D上当

PP0时，以A为极限，记为limfPA

PP0注：若Px,yP0x0,y0，则极限用坐标表示为：若P0x0,y0为 D 的聚点，对0,0，当xx0,yy0，且x,yx0,y0时，恒有

fx,yA 记为(2）充要条件： ①

②x,yx0,y0limfx,yA

PP0PP0PDlimfPAlimfPA,ED

nPP0PDlimfPA对PnD,且PnP0有limfPnA

(3）极限不存在（特殊路径法）：存在E1,E2D，且P0是它们的聚点，若

PP0PE1limfPA1,PP0PE2limfPA2

且A1A2，则limfP不存在．

PP0例 14.2

当x,y0,0时，证明：（1）fx,yxsin11ysin极限为0 yx（2）fx,yxy极限不存在．

x2y21,0yx2x,yR2极限不存在．（3）fx,y0,其余证明：（1）对0，取20，当x,y时，恒有

fx,y0xsin即11ysinxy yxx,y0,0limfx,y0

（2）当沿着x轴（即y0）让动点x,y0,0时，xy0，当沿着

x,y0,0x2y2lim直线xy让动点x,y0,0时，1xy10，所以 ，而

x,y0,0x2y222limxy不存在。

x,y0,0x2y2lim(3）沿任何通过原点的直线ykx，让动点x,y0,0时，函数的极限都存在．且为 0.事实上，当y0时，f0，结论显然成立；当 y > 0 时，不妨设 k > 0（因为 k

x,y0,0limfx,ylimfx,kx0，即恒有

x0limfx,kx0

x0但是

x,y0,0limfx,y还是小存在，事头上，当沿着路径y12x，让动点x,y0,0 2x,y0,0limfx,y10

注：这个例子说明，当判断二元函数在某点处极限是否存在时，即使沿通过该点的所有直线趋于该点时的极限都存在且相等，还不能确定该点的极限存在．．二次极限（也叫累次极限）

(l）定义：形如limlimfx,y和limlimfx,y的极限，分别称为先x 后 y 和先 y 后yy0xx0xx0yy0x的二次极限．

注：两二次极限若都存在，可未必相等；也可以一个存在，另一个不存在． 例 14.3

考查下来函数的两个累次极限：

xyx2y2(1)fx,y在0,0点；

xy(2)fx,yxsin11和gx,yysin在0,0点；

xy(3)fx,yxy 22xyx2xy2y

1解：（1）limlimfx,ylim1，但limlimfx,ylimx0y0y0y0x0y0xy(2)limlimfx,ylimlimxsiny0x0y0x0110,但limlimxsin不存在

x0y0yy11limlimgx,ylimlimysin不存在，但limlimysin0 y0x0y0x0x0y0xx(3)limlimfx,ylimlimy0x0y0x0xy0limlimfx,y

22x0y0xy(2）二重极限与二次极限的关系：

① 无蕴含关系：即二重极限存在，两个二次极限未必存在，如例 14.2(l）和例 14.3(2)；两二次极限存在且相等，二重极限未必存在，如例 14.2(2）和例 14.3(3).② 有联系：若二重极限与二次极限都存在，它们必相等． 证明：设x,yx0,y0limfx,y与limlimfx,y都存在，记

xx0yy0x,yx0,y0limfx,yA，则对

0,10,当xx01,yy01且x,yx0,y0时，恒有fx,yAyy0yy02

对于固定的x,x0x0,1由于limfx,y极限存在，记为limfx,yx，所以

01，当0yy0时，有

fx,yx当0xx0,0yy0时，有

2

xAxfx,yfx,yA即x,yx0,y022

limfx,yA.同理，当另一个二次极限与二重极限都存在时，它们也相等，所以得到了判定二重极限存在的又一种方法：若两个二次极限都存在，但不相等，则二重极限必不存在．如例 14.3(1）中的函数在原点处，二重极限必不存在．

注：已经知道，对一元函数，其极限类型共有 24 种，对二元函数，极限类型更多，没必要再一一指出，下面仅通过一个例子稍加说明． 例 14.4

写出下列类型极限的精确定义：(l)(3)x,yx0,x,y,y0limfx,yA（2）

x,y,x,yx0,limfx,yA fx,y． limfx,y（4）

lim解：(l）对0，0及 M > O，当0xx0,yM时，恒有

fx,yA

(2）对0，M0，当xM,yM 时，恒有

fx,yA

(3）对M0,G0，及0，当xG,0yy0时，恒有

fx,yM

(4）对M0,G0及0，当0xx0,yM时，恒有

fx,yM

例 14.5

给出符合下列条件的函数的例子：当x,y时：

(1）两个二次极限存在，但二重极限不存在；(2）两个二次极限不存在，但二重极限存在；

(3）重极限与二次极限都不存在；

(4）重极限与一个二次极限存在，另一个二次极限不存在． 解：(1)fx,yxy，二次极限 limlimfx,y0limlimfx,y，但二22xyyxxy重极限不存在：当沿着yx与y2x两条路径趋于时它们的极限不等．

(2)fx,y11sinysinx，符合要求（验证略）xy(3)fx,yxy，符合要求（验证略）(4)fx,y1siny，符合要求（验证略）.x3 ．二重极限的求法

(l）用定义；

(2）用一元函数的方法，如特殊极限法、迫敛法则等；

xrcos(3）对x,y0,0类型的极。良，求极限日寸可作极坐标代换化为r0

yrsin的一元函数的极限，进而可以用洛必达法则等（注意，从例 14.2(3）可知，只有在极限存在时，才可以用此法）.例 14.6

求下列极限：

sinxyx2yx2y2lim(l）lim；(2）；(3）·

limx,y0,1xx,y0,0x2y2x,y,x4y4解：(l)（用定义）对0，取0，当 0x,0y时，恒有

x2yx2y2y 22xyxx2y即lim0 x,y0,0x2y2注：也可以用转化为极坐标的方法．

(2)（用定义）0，取M20，当xM,yM时，恒有

x2y2x2y211

x4y4x4y4x4y4x2y222x2y2即 lim0

x,y,x4y4(3)

sinxysinxylimy1 x,y0,1xx,y0,1xylim三、二元函数的连续性

（一）在一点的连续性．定义

(1）定义：设 f 的定义域为DR，P0x0,y0D，若

2x,yx0,y0limfx,yfx0,y0，则称f在P0点连续．

2(2)(语言）：设 f 的定义域为DR，P0x0,y0D，若对0，0，当x,yD且xx0,yy0时，恒有fx,yfx0,y0，则称 f 在P0点连续．

注：若P0x0,y0为 D 的孤立点，则 f 在P0点必连续．这是因为在P0的某邻域内属于f定义域的点仅有P0一个点，此时，fx,yfx0,y0fx0,y0fx0,y00(3)（用增量语言）：记

xxx0,yyy0,ffx,yfx0,y0（称为函数的全增量）;

xffx,y0fx0,y0,yffx0,yfx0,y0（分别称为关于x和 y 的偏增量）;则当

x,y0,0limf0时，称 f 在P0x0,y0点连续．．间断点

使得 f 不连纹的点．叫f的间断点．特别若

x,yx0,y0limfx,yAfx0,y0

或 f 在点P0无定义时．称P0为可去间断点． 3 ．在P0x0,y0点关于两个变元分别连续

若limx,y0fx0,y0，则称fx,y在P0点关于x是连续的．

xx0若limfx0,yfx0,y0，则称fx,y在P0点关于 y 是连续的．

yy04 ．连续（或称为关于两变元（x , y）的整体连续）与分别连续的关系(1）连续分别连续：结论是显然的，因为若

x,y0,0limf0，则必有

x0limxf0，和limyf0·

y0(2）分别连续未必连续：例如，fx,y1,xy0在原点处显然不连续，但由于

0,xy0f0,yfx,00，因此，在原点处 f 对二和 y 是分别连续的．

注：若函数 f 关于各变量是分别连续的，再附加些什么条件可使其连续呢？这个问题在.2 节讨论． ．在一点连续的性质 同一元函数．

（二）在区域上的连续性．定义

若函数fx,y在区域 D 上每一点都连续，则称f在区域 D上连续． 2 ．有界闭域上连续函数的性质

(1）取最大（小）值性：若函数fx,y在有界闭域 D 上连续，则函数在 D上必可取到最大值和最小值．

(2）有界性：若函数fx,y在有界闭域 D 上连续．则函数在 D 上必有界．

(3）介值定理：若函数fx,y在区域 D 卜连续，P1,P2为 D 中任意两点．若

fP1fP2，则对任何满足不等式fP1ufP2的实数u．必存在P0D 使得

fP0

(4）一致连续性：若函数fx,y在有界闭域D上连续．则必致连续．

注： ① 二元函数fx,y在区域 D 卜致连续定义：对0,0，对x1,y1 , x2,y2D，当x1x2,y1y2时，恒有fx1,y1fx2,y2．

② 二元函数在区域 D 上不一致连续定义：对0,x1,y1,x2,y2D．虽00，然x1x2,y1y2，但是fx1,y1fx2,y20． 例 14.7

证明函数fx,y1在D0,10,1上连续，但不一致连续．

1xy1的定义域，而初等函数在定义域上都是连续 1xy证明：因为 D 属于初等函数fx,y的．下证它不一致连续：取010，对001，取x1y11； 82x2y21，则x1,y1,x2,y2D，且x1x22,y1y22但是

fx1,y1fx2,y21即fx,y241223114111 02881 在D0,10,1上不一致连续． 1xy