自考高等数学一基础知识点_高等数学基础知识点

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函数极限的存在准则

学习函数极限的存在准则之前，我们先来学习一下左、右的概念。

我们先来看一个例子：

例：符号函数为概念。

对于这个分段函数,x从左趋于0和从右趋于0时函数极限是不相同的.为此我们定义了左、右极限的定义：如果x仅从左侧(x＜x0)趋近x0时，函数与常量A无限接近，则称A为函数当时的左极限.记：

与常量A无限接近，则称A为函数

当如果x仅从右侧(x＞x0)趋近x0时，函数时的右极限.记：注：只有当x→x0时，函数函数极限的存在准则的左、右极限存在且相等，方称

在x→x0时有极限

准则一：对于点x0的某一邻域内的一切x，x0点本身可以除外(或绝对值大于某一正数的一切x)有≤那末≤，且存在，且等于A，注：此准则也就是夹逼准则.准则二：单调有界的函数必有极限.注：有极限的函数不一定单调有界 两个重要的极限

一：

注：其中e为无理数，它的值为：e=2.7***045...二：

注：在此我们对这两个重要极限不加以证明.注：我们要牢记这两个重要极限，在今后的解题中会经常用到它们.例题：求

解答：令，则x=-2t，因为x→∞，故t→∞，则

注：解此类型的题时，一定要注意代换后的变量的趋向情况，象x→∞时，若用t代换1/x，则t→0.无穷大量和无穷小量 无穷大量

我们先来看一个例子：

已知函数，当x→0时，可知，我们把这种情况称为趋向无穷大。为此我们可定义如下：设有函数y=大的数)，总可找到正数δ，当

时，在x=x0的去心邻域内有定义，对于任意给定的正数N(一个任意

成立，则称函数当时为无穷大量。

记为：（表示为无穷大量，实际它是没有极限的）

无限趋大的定义：设有函数y=，当x充分大时有定义，同样我们可以给出当x→∞时，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可以找到正数M，当时，成立，则称函数当x→∞时是无穷大量，记为：无穷小量

以零为极限的变量称为无穷小量。定义：设有函数，对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在正数δ(或正数M)，使得对于适合不等式数当

(或)的一切x，所对应的函数值满足不等式，则称函(或x→∞)时 为无穷小量.记作：(或)注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有0可作为无穷小量的唯一常量。无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于0.无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的.