向学生学习学与教_小学生学习学什么

2020-02-28 其他范文下载本文

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向学生学习学与教

江苏省扬中高级高级中学

许建

数学教学的主要目的之一是教学生会学，这就要引导学生掌握科学的学习方法。我的做法是转换角度，反过来向学生学习。我注意观察、研究优秀学生或进步较大的学生的学习方法，长期研究学生学习数学的成功经验和失败教训，以研究学生的学促进我的教学水平提高。学生对数学学习的认识和做法给了我很多启示，结合心理学和数学教学理论，我觉得最重要的启示就是把养成科学的数学学习方式贯穿在数学教学的始终。在学生学习数学的过程中，究竟有哪些特点与品质需要我们了解和学习呢？

1、了解学生学习的主体性

主体性是任何学习方式必须遵循的基本理念，是学习成功的基础。一旦学生的主观能动性调动起来，就会激发巨大的潜能，有例为证：

例2：已知抛物线C:y24x的焦点为F，过点K(1,0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D，证明：点F在直线BD上；

这是一节习题课的例题，学生经过独立思考探究了多种解法，在课堂上展示后并没有就此满足，许多学生基于已获得的变题经验，纷纷探究是否能够变题，第二节课上学生通过自主探究展示了许多结论。

变式1：已知抛物线C:y24x的焦点为F，过点K(1,0)的直线l与C相交于A、B两点，点B与F连线交抛物线于D点，证明：ADx轴.变式2：已知抛物线C:y24x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于B、D两点,过D作x轴的垂线交抛物线于A点，则AB连线经过定点K(1,0)

以上结论对于一般抛物线也成立，即：

变式3：已知抛物线C:y22px的焦点为F，过定点K(

p,0)的直线l与C相交于2p,0)的直线l与C相交于2A、B两点，点关于x轴的对称点为D，证明：点F在直线BD上.变式4：已知抛物线C:y2px的焦点为F，过定点K(2A、B两点，点B与F连线交抛物线于D点，证明：ADx轴.变式5：已知抛物线C:y2px的焦点为F，过点F的直线l与C相交于B、D两点,过D作x轴的垂线交抛物线于A点，则AB连线经过定点K(若定点K不是焦点关于原点的对称点，仍有以下结论：

2p,0).2变式6：已知抛物线C:y22px，过点K(a,0)(a0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D，证明：Q(a,0)在直线BD上.同理可对变式（1）（2）进行推广横向类比猜想椭圆、双曲线也具有类似性质呢：

xya过x轴上一点K作直线l与1(ab0),(,0)，a2b2mC相交于A,B，过A作x轴对称点为D，则B、D、Q(m,0)三点共变式7:已知椭圆线.222x2y2a2变式8：已知双曲线221,过x轴上一点K(,0)作直线l与abmC相交于A,B，过A作x轴对称点为D，则B、D、Q(m,0)三点共线.一道例题因为学生有了自主探究的积极性和兴趣，掌握了变式探究的基本方法，因而获得了意想不到的效果，数学课堂教学因此焕发出无限的生命力，学生真正成为数学学习的主人。

2、尊重学生学习的个性化

多元智能理论指出，“世界上没有两个人的智能是完全相同的”，因此，对于同样的知识，各人运用其自身各种智能的组合去学习，就会形成不同的方式方法。同一数学问题，不同的人往往运用多种方法去解决问题，这就可以解释，为什么往往有些学习成绩并不冒尖的学生常常会给出一些出人意料的解题思路，且能出奇制胜。有些学生往往在解题中钻牛角尖，固执地偏好用某种方法解决各类问题。因此数学学习方式因各人智能和学习风格差异往往使用不同的方式和方法。

由于每个人的自我认识智能存在差异，必然导致认识数学对象和学习策略产生差异，而且各人对数学学习的兴趣、态度、情感各不相同，因而必然产生不同的情感体验，同时也直接影响对数学活动进行自觉的、有效的监控，随着时间的推移，各人的数学学习就会不断变化，呈现出显著的个性化色彩。以下例子可以说明学生的个性化学习特点。

例3：已知椭圆的长轴、短轴及焦距之和为8，求半长轴长的最小值。

我首先请学生分析题目条件，考虑能获取什么样的信息，这些信息与结论有何联系，借助已学知识能否构建已知信息与结论的桥梁？能否找到解题思路，然后由学生思考、讨论、交流，互相借鉴：

S1：

(bc)22(b2c2)



bc2(b2c2)

222又

bc4a

bca

 4a2a

a4124(21)

T: 很好！你是怎么想到此种解法的？

S1: 根据已学求最值的方法，要求a的最小值，就要构造一个关于a的不等式，解出a的范围，从而求出最小值，由条件中的bc及b2c2a2联想到基本不等式a2b2ab2()从而求出a的最小值。22S2:

我与S1的解题思路相似，但我运用了

abab得到如下解法： 2222 abc得 ab2c2 由 b2c2bc4 得 2bc2bc4

bc2416又 a2b2c24a2bca162bc1224162424 84当且仅当bc时

a有最小值424

T：两位同学的解题方法都很好，运用不同的不等式，构建含a的不等式求出最小值。

S3：受前面两位同学的启发，我构造了一元二次方程根的判别式也得到了相同的结果，其方法如下：

由{bc4abca2222

得 {

bc4abc84a

b、c 是方程 x(a4)x84a0 的两根，则 (a4)4(84a)0 2 a0

 a42当a424 时 bc42

2即

当 bc422

时，amin424。S4:

我用换元法找到了关于a的不等式，4a4at

ct 22bc4a 可设 b

a(22aat)2(2t)2

整理得 222 a8a164t4t0



a8a160

且a0

2从而 a424

 a 的最小值为424。

T：以上四位同学用所学知识为桥梁，构建含有a的不等式，最终求出a的最小值，这些方法都很好，还能发现其他方法吗？

S5: 求最小值往往与函数紧密联系，我想把a表示成 b或c的函数，由b2(4b)2bca、abc

4消去c得 a，但这个函数的最小值我2(4b)222不会求！

T: S5的方法尽管未求出结果且运算较繁，但利用函数求最值是常用的基本方法，请同学们思考一下，如何求上式的最小值？

S6:我想到换元法:设4bt,则0

(4t)2t28at4284424.2tt8,t22,b422时，等号成立！t当且仅当tT: 很好！用不等式求函数的最小值可以简化运算。

S7:上述同学用代数方法求解问题，我还想到解析法，请看：由已知条件{b2c2a2bca40可看作点(b,c)在圆x2y2a2上，又在直线

则圆心到直线的距离不大于a,即xya40上，直线与圆有公共点，a42a，0a4,4aa2,a4214(21),a的最小值为4(21)。

S7学习习近平面几何兴趣尤其浓，遇到许多代数问题，往往习惯于联想几何模型，运用平面几何知识加以解决。

S8:受S7的启发，我由b2c2a2联想到直角三角形：设一个锐角为则basin,cacos,由abc4，得aa(sincos)4，a41sincos，sincos2sin(4)2，

a4124(21),a的最小值为4(21)。

S8平时偏爱三角，经常想到将一些问题运用三角换元转化为三角函数问题求解。他认为三角公式多，三角变换越复杂越有趣。

此外，学生还探究了其他几种方法，分析学生的各种解法不难发现，学生的知识基础、思维方式、各种智能差异有机融合，必然导致学生的学习方式千差万异、五彩纷呈。

3、借鉴学生善于联想的品质。我们要将新的知识与已掌握的知识联系，发现异同点，便于记忆与理解：如学生学习三角中的扇形面积公式s1cl。就有学生与三角形面积公式2联系，认为只要将扇形的弧拉直就可看作底边。将过圆弧中点的半径（由对称性）看作高，即可用三角形的面积公式表示。再如学习余弦定理时，将余弦定理与两数和的平方公式联系起来，将公式(ab)ab2ab中数a,b换成三角形两边所在的向量a，b即得到222两向量和的公式，再由数量积定义即得余弦定理，还可以得到三角形中从一点出发的两边所

a2b2c2对应的是a，b则有 a.b

此谓向量数量积的三角形式，这不就是心理学家

2奥苏贝尔的著名论断：“如果我不得不把所有的教育心理学还原为一条原理的话，那么我就将会说，影响学习最重要的因素是学生已经知道了什么？”教学生掌握知识联系、融会贯通正是最好的教法。

4、学习学生喜欢类比的习惯。在数学中，等差数列与等比数列，椭圆和双曲线，数与形，等与不等有许多相似性质。学生通过类比发现了许多结论。如在学习圆锥曲线后，学生总结了许多椭圆与双曲线的奇妙性质：

⑴设A1，A,2为椭圆bxayab的长轴端点，过长轴任一点作长轴的垂线，交椭圆于 P的轨迹为双曲线b2x2-a2y2a2b2。P1A1，P2A2的交点1,P2,则直线P设：过实轴延长线一点作实轴的垂A1，A,2为双曲线bx-ayab的实轴端点，线交双曲线于PP的轨迹为椭圆b2x2-a2y2a2b2。1A1，P2A2的交点1,P2，则直线P⑵P为椭圆（双曲线）上任意一点，F1,F2为椭圆（双曲线）的两个焦点，过F2作F1PF2的外（内）角平分线的垂线，则垂足的轨迹是圆。222222222222⑶若椭圆（双曲线）上有两点A,B与中心的连线互相垂直，则

1OA21OB2为定值b2a2(22)。ab⑷椭圆（双曲线）的焦点为F1,F2，P为曲线上任一点，F1PF2，则。SF1PF2b2tan(b2cot)(b为短半轴长）⑸P、Q为椭圆（双曲线）上任意两点（P、Q位于两支），直线PQ交准线于K，F为准线相应的焦点，则F、K平分PFQ的外角（内角）。

⑹过椭圆（双曲线）准线上的任一点引两切线，则切点弦必过焦点。

⑺ 过椭圆（双曲线）的焦点作焦半径的垂线与过此焦半径另一端点的切线必相交于准线。

⑻以椭圆的任一焦半径为直径的圆与以长轴为直径的圆相切，以双曲线任一焦半径为直径的圆与以实轴为直径的圆相切。

⑼以椭圆（双曲线）焦点弦为直径的圆必与相应准线相离（相交）。⑽设圆锥曲线焦点弦AB在相应准线上的射影对焦点所张角为，则当曲线为椭圆时，2；当曲线为双曲线时，2。

数学教育家波利亚先生曾说过：“教师在课堂上讲什么当然是重要的，然而学生想的是什么更加千百倍的重要”。其实想什么、怎样想恰恰是数学学习的基本问题，而联想、类比、归纳是怎样想的基本方法。

5、遵循学生乐于探究的天性

探究是人的天性，教师的职责就是激活学生的探究意识，指导学生的探究方法，开发学生的探究潜能，提高学生的探究能力。

例4：过抛物线y22px(p0)的焦点的一条直线与这抛物线相交，两个点的纵坐标为y1,y2，求证：y1y2p2

此题似乎平淡无奇，但其条件在众多问题中均出现过，抓住这一共性条件，将题中结论去掉，变成一个结论开放问题，问由上述条件，能探索出哪些结论？并给予证明。学生依据条件，充分运用抛物线定义，标准方程，图形及其数量关系，借助特殊引路、联想类比、归纳猜想、直觉洞察、变换对应等数学思想方法，查阅资料，合情推理，得到一系列结论。以下是学生探索的部分结果（如图）其中F为焦点，M为弦AB的中点，直线AB的倾斜角为：（1）CFD90；

（2）ANB90；

（3）NFAB；

（4）ANFC(BNFD);

（5）FK200CKDK；

（6）A,O,D(B,O,C)三点共线

（7）以AB为直径的圆与准线l相切；

（8）CFBN；

（9）AB2p； sin2

（10）SABOp2；

（11）kOAkOB4； 2sin

（12）112 AFBFp6、珍惜学生互学互教的机会

学生需要什么样的数学教学？我经常研究学生学习数学有何需求，学生之间如何互帮互教，从学生的需求和做法中寻求教学良方。试卷评讲课是平时教学与高三复习的一种常见课型，许多评讲课往往效益不高，我问计于学生，在全体高三学生中进行问卷调查，如你对提高试卷评讲课效益有何建议，学生提出了许多宝贵的建议。