复杂最值问题剖析_复杂物质的剖析

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复杂最值问题剖析

华图教育 王小欢

行测中有题目是一类常见的题目是最值问题，这类题目一般情况下包括三种：第一种为最不利构造，题目特征是至少„„保证„„，做题方法是找出最不利的情形然后再加1；第二种为多集合反向构造，题目特征是至少„„都„„，做题方法三步走：反向，求和，做差；第三种题目是构造数列，题目特征是最„„最„„，做题方法是构造出一个满足题目的数列。如果在平时练习或考试的过程中，遇到了这三种题目，可直接按照相应的方法进行求解。但是，还有一些最值问题并不像上面三种问题叙述的那么简单，往往涉及的项目还比较多，需要先进行分析讨论。遇到这样的题目怎么分析，举两个例子剖析一下。

【例1】一个20人的班级举行百分制测验，平均分为79分，所有人得分都是整数且任意两人得分不同。班级前5名的平均分正好是16到20名平均分的2倍。则班级第6名和第15名之间的分差最大为多少分？

A.34 C.40

B.37 D.43 【解析】求班级第6名和第15名之间的分差最大，则第6名的成绩要尽可能的接近第5名的成绩，且前5名的成绩差距要尽可能的小，即前6名成绩是连续的自然数，第15名的成绩要尽可能的接近第16名的成绩，且后5名的成绩差距要尽可能的小，即后6名的成绩是连续的自然数。又由于班级前5名的平均分正好是16到20名平均分的2倍，则前5名的成绩决定了后5名的成绩。而同时满足这些条件的数列有多组，则可以使前5名的成绩为100、99、98、97、96，则第6名的成绩为95，由此，后5名得成绩为51、50、49、48、47，则第15名得成绩为52，此时与平均分为79分不矛盾，所以第6名和第15名之间的分差最大为95-52=43。因此，本题答案选择D选项。

【例2】有20人测验及格率是95%，平均分88，得分都是整数并且每人得分都不相同，问排名第十的人得分最低是多少？

A.88 B.89 C.90 D.91 【解析】为了使得排名第十的人的分数尽可能的低，应当使得其余排名的人的分数尽可能高。根据及格率为95%可知，有一人未及格，而未及格的人的分数最高为59分。因此19名及格的考生总成绩为88×20－59＝1701分。

前九人的分数最高分别为100分，99分，98分，97分，96分，95分，94分，93分，92分，因此第十至第十九人的分数总和为1701－（100＋99＋98＋97＋96＋95＋94＋93＋92）＝837分。假设这十个人的分数分别为91分至82分，那么这十个分数的和为865分，比实际分数多了865－837＝28分。如果第十个人的分数减去1分，那么其余九个人的分数依次减去1分，这样他们的总分就要减去10分。由此可见第十个人的分数只能减去2分达到89分，这样才使得十个人的分数总和可能为837分。如果第十个人的分数为88分，那么这十个人的分数总和最多为835分。因此第十个人的分数最低只能是89分。

通过这两个例子，大家会发现，这样的最值问题也不过是“纸老虎”，看起来题目比较长，跟问题直接相关的信息又比较少，一般思路是考虑问题的反面作为出发点，如“求班级第6名和第15名之间的分差最大，则第6名的成绩要尽可能的接近第5名的成绩”，再如“为了使得排名第十的人的分数尽可能的低，应当使得其余排名的人的分数尽可能高”，一步步，抽丝剥茧般形成习惯性的套路，这样的问题自然就迎刃而解了。