倒立摆模型_空间倒立摆模型

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直线一级倒立摆数学模型建立及线性化处理

直线一级倒立摆系统的组成本系统由水平移动的小台车及由其支撑的单节倒立摆构成。控制输入量是拖动小台车的直流伺服电机的驱动力，被控制量是摆的偏角和小台车的位移。系统的构成示意如图1所示。

图1系统示意图

应用牛顿力学方法建立系统的数学模型

在以上假设的前提下，来分析系统的运动情况。采用隔离的办法，首先分析倒立摆系统的受力情况。

一、小台车的受力分析

设小台车的质量为M[kg]，f[N]为由电机提供的x方向的驱动力，fw[N]为系统的外部干扰作用力，[kgm2]为小车和轨道的摩擦系数，K[Nm/s]为电动机动特性影响因数，则根据小车水平方向所受的合力，可得如下方程：

Mx(ffw)fF(K)x

（1）

其中fF[N]表示摆的水平运动对台车的作用力，其方向与驱动力f[N]的方向相反。

二、摆杆的受力分析 以小台车与摆的节点为坐标原点，取坐标系如图1。那么，摆的运动由水平方向，铅直方向以及旋转方向的运动来构成。记摆的质心距节点的距离为L[m], 摆的质量为m[kg]，摆的偏移角为，那么摆的质心沿各个运动方向的位移分别为：

 水平方向 xLsin[m]  铅直方向 Lcos[m]  旋转方向 [rad] 且各个方向的运动方程可以表示为：

d2fHm2[xLsin]

（2）

dtd2fVmgm2[Lcos]

（3）

dt JLfVsinLfHcos

（4）其中fH[N]和fV[N]分别表示作用在节点上的沿水平方向和铅直方向的反作用力。记转动惯量为JmL2/3，摩擦系数为，则由(2)和(3)求得fH[N]和fV[N]，并代入(4)，得

(JmL2)mLcosxmLgsin

（5）由于摆的水平方向的推力fF等于摆的水平运动作用在台车上的阻力fH, 即

fFfH（6）将（2）式中的fH代入（1）式，得到小台车的运动方程为：

(Mm)x(K)x(mLcos)(mLsin)2(ffw)

（7）由（5）式和（7）式可得出倒立摆系统的数学模型为如下方程组：

2(Mm)x(K)x(mLcos)(mLsin)(ffw)

（8）2(JmL)mLcosxmLgsin

直线一级倒立摆系统的结构参数

台车的质量(M)0.445[kg] 摆的质量(m)0.210[kg] 重力加速度(g)9.8[m/s2] 质心距节点的距离(L)0.305[m] 台车与轨道的摩擦系数（）0.925 [kgm2] 摆节点处的摩擦系数（）0.06[N/rad/s] 电动机动特性影响因数（K）7.877[Nm/s]