倒立摆系统的控制器设计1_倒立摆控制系统设计

2020-02-28 其他范文下载本文

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刘翰林

倒立摆系统的控制器设计引言

1.1 问题的提出

生活在大千世界里，摆无处不在。何为摆？支点在下，重心在上，恒不稳定的系统或装置的叫倒立摆。相反，支点在上而重心在下的则称为顺摆。现实生活中，旋转着的芭蕾舞演员，杂技的顶伞，墙上挂钟的钟摆，工作中的吊车等都可被看作是一个摆。倒立摆的种类繁多，其中包括悬挂式、直线、环形、平面倒立摆等。一级、二级、三级、四级乃至多级倒立摆。

1.2 倒立摆系统简介

倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。最初研究开始于二十世纪50年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级立摆实验设备。近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。倒立摆系统作为控制理论究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。

1.3 倒立摆的分类

倒立摆已经由原来的直线一级倒立摆扩展出很多种类，典型的有直线倒立摆，环形倒立摆，平面倒立摆和复合倒立摆等，倒立摆系统是在运动模块上装有倒立摆装置，由于在相同的运动模块上可以装载不同的倒立摆装置，倒立摆的种类由此而丰富很多，按倒立摆的结构来分，有以下类型的倒立摆： 1)直线倒立摆系列

直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件，可以组成很多类别的倒立摆，直线柔性倒立摆和一般直线倒立摆的不同之处在于，柔性倒立摆有两个可以沿导轨滑动的小车，并且在主动小车和从动小车之间增加了一个弹簧，作为柔性关节。2)环形倒立摆系列

环形倒立摆是在圆周运动模块上装有摆体组件，圆周运动模块有一个自由度，可以围绕齿轮中心做圆周运动，在运动手臂末端装有摆体组件，根据摆体组件的级数和串连或并联的方式，可以组成很多形式的倒立摆。3)平面倒立摆系列

平面倒立摆是在可以做平面运动的运动模块上装有摆杆组件，平面运动模块主要有两类：一类是XY 运动平台，另一类是两自由度SCARA 机械臂；摆体组件也有一级、二级、三级和四级很多种。刘翰林

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4)复合倒立摆系列

复合倒立摆为一类新型倒立摆，由运动本体和摆杆组件组成，其运动本体可以很方便的调整成三种模式，一是 2)中所述的环形倒立摆，还可以把本体翻转90 度，连杆竖直向下和竖直向上组成托摆和顶摆两种形式的倒立摆。按倒立摆的级数来分：有一级倒立摆、两级倒立摆、三级倒立摆和四级倒立摆，一级倒立摆常用于控制理论的基础实验，多级倒立摆常用于控制算法的研究，倒立摆的级数越高，其控制难度更大，目前，可以实现的倒立摆控制最高为四级倒立摆。

1.4 摆的特点

虽然倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特性: 1)非线性

倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似模型，线性化处理后再进行控制。也可以利用非线性控制理论对其进行控制。倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。

2)不确定性

主要是模型误差以及机械传动间隙，各种阻力等，实际控制中一般通过减少各种误差来降低不确定性，如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定因素。

3)耦合性

倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。

4)开环不稳定性

倒立摆的平衡状态只有两个，即在垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定的平衡点，垂直向下为稳定的平衡点。

5)约束限制

由于机构的限制，如运动模块行程限制，电机力矩限制等。为了制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机功率都尽量要求最小，行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出现小车的撞边现象。

1.5 工程背景

1)机器人的站立与行走类似双倒立摆系统。

2)在火箭等飞行器的飞行过程中为了保持其正确的姿态要不断进行实时控制。

3)通信卫星要保持其稳定的姿态使卫星天线一直指向地球使它的太阳能电池板一直指向太阳。

4)为了提高侦察卫星中摄像机的摄像质量必须能自动地保持伺服云台的稳定消除动。

5)多级火箭飞行姿态的控制也可以用多级倒立摆系统进行研究。倒立摆系统是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合。直线倒立摆数学模型的建立

系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输刘翰林

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出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。

对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面我们采用其中的牛顿－欧拉方法和拉格朗日方法分别建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。

直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件。

2.1微分方程的推导（牛顿力学方法）

微分方程的推导在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2.1所示。做以下假设：

M小车质量 m摆杆质量 b小车摩擦系数 I 摆杆惯量 F加在小车上的力 x小车位置

摆杆与垂直向上方向的夹角

摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）

图2.1 直线一级倒立摆模型刘翰林

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系统中小车和摆杆的受力分析图是图2.1。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图2.2所示，图示方向为矢量正方向。

图2.2 小车及摆杆受力分析

分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

MxFbxN 

(1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：

d2Nm2(xlsin)

(2)即：

Nmxmlcosmlsin (3)把这个等式代入式(1)中，就得到小车运动方程（第一个运动方程）：

(Mm)xbxmlcosmlsinF 2

(4)为了推出摆杆的运动方程（第二个运动方程），对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：

d2Pmgm2(lcos)

dt2

(5)Pmgmlsinmlcos

力矩平衡方程如下：

PlsinNlcosI



(6)

(7)刘翰林

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注意：方程中力矩的方向，由于,coscos,sinsin

(6)和(3)代入(7)，约去P和N，得到摆杆运动方程（第二个运动方程）：

(Iml)mglsinmlxcos 2

（8）

设（是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设与1（单位是弧度）相比很小，即1，则可以进行线性化近似处理：

cos1,sin,(d2)0 dt用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：

2(Iml)mglmlx (Mm)xbxmlu进行拉氏变换，得：

(Iml2)(s)s2mgl(s)mlX(s)s2

22(Mm)X(s)sbX(s)sml(s)sU(s)

（9）

由于输出为角度，求解方程组的第一个方程，可以得到：

(Iml2)gX(s)2(s)

sml(s)mls2即： X(s)(Iml2)s2mgl

（10）

（10）式称为摆杆角度与小车位移的传递函数如令vx，则有：

(s)ml 22V(s)(Iml)smgl

（11）

（11）式称为摆杆角度与小车加速度间的传递函数，由于伺服电机的速度控制易于实现在实验中常采用此式。

把（10）式代入（9）式的第二个方程中，得到：

(Iml2)(Mm)ml(Iml2gg22(s)sml(s)s2U(s)(s)sbssml刘翰林

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mls(s)q

2U(s)b(Iml)2(Mm)mglbmgls3ssqqq其中，q(Mm)(Iml2)(ml)2

（12）式称为摆杆角度与外加作用力间的传递函数

（12）

2.2系统物理参数

实际系统的模型参数如下: M：小车质量

m：摆杆质量

1.096kg

0.109kg

0.1N/sec b：小车摩擦系数

l：

摆杆转动轴心到杆质心的长度

0.25m I：

摆杆惯量

0.0034kgm2

2.3实际系统模型

把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：

(s)0.02725V(s)0.0102125s20.26705

摆杆角度和小车位移的传递函数：

(s)0.02725S2X(s)0.0102125s20.26705

摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：

mls(s)2.35655sq 232U(s)b(Iml)(Mm)mglbmgls0.088316s27.9169s2.30942s3s2sqqq2.3 开环响应分析

当输入为小车加速度时：刘翰林

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摆杆角度的单位脉冲响应传递函数

(s)0.02725，其图像如图2.3所示： V(s)0.0102125s20.26705Impulse Response14x 1051210Amplitude8642000.511.5Time(sec)22.53

图2.3 单位脉冲响应函数图像

摆杆角度的单位阶跃响应传递函数

(s)0.02725，其图像如图2.4所示： 2V(s)0.0102125s0.267056x 106Step Response54Amplitude3210012345Time(sec)678910

图2.4

位阶跃传递函数响应刘翰林

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小车位置的单位脉冲响应传递函数为(s)1，其图像如图2.5所示： s2Impulse Response200***0Amplitude***406080100Time(sec)***

图2.5 单位脉冲响应传递函数图像

小车位置的单位阶跃响应传递函数为(s)1，其图像如图2.6所示： 2s12x 105Step Response108Amplitude64200500Time(sec)10001500

图2.6 单位阶跃响应传递函数图像

从图2.3、图2.4、图2.5、图2.6可以看出无论是在脉冲响应，还是阶跃响应，当输入为小车加速度，输出为摆杆角度或小车位置，其传递函数图像都是发散的。因此必须对系统进行控制器的设计，使系统稳定。

闭环系统瞬态响应的基本特性与闭环极点的位置紧密相关，如果系统具有可变的环路增益，则闭环极点的位置取决于所选择的环路增益，从设计的观点来看，对于有些系统，通过简单的增益调节就可以将闭环极点移到需要的位置，如果只调节增益不能满足刘翰林

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所需要的性能时，就需要设计校正器，常见的校正器有超前校正、滞后校正以及超前滞后校正等。利用根轨迹法设置控制器

3.1 根轨迹分析

前面我们已经得到了倒立摆系统的开环传递函数，输入为小车的加速度，输出为倒立摆系统摆杆的角度，被控对象的传递函数为：

(s)mlV(s)(Iml2)s2mgl

给系统施加脉冲扰动，输出量为摆杆的角度时，系统框图如图3.1下：

图3.1 直线一级倒立摆闭环系统图（脉动干扰）

考虑到输入r(s)= 0，结构图变换成图3.2所示：

图3.2 直线一级倒立摆闭环系统简化图（脉动干扰）

实际该系统的开环传递函数为:

(s)0.02725V(s)0.0102125s20.26705

在MATLAB键入如下命令：

num=[0.02725 ];

den=[0.0102125 0-0.26705];rlocus(num,den);z=roots(num);刘翰林

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p=roots(den);

得到结果如下：

z =

Empty matrix: 0-by-1 p = 5.1136-5.1136

Root Locus642Imaginary Axis0-2-4-6-6-4-20Real Axis246

图3.3 直线一级倒立摆开环根轨迹图

可以看出，系统有两个零点(无穷远)，有两个极点，并且有一个极点为正。画出系统闭环传递函数的根轨迹如图3.3，可以看出闭环传递函数的一个极点位于右半平面，并且有一条根轨迹起始于该极点，并沿着实轴向左跑到位于原点的零点处，这意味着无论增益如何变化，这条根轨迹总是位于右半平面，即系统总是不稳定的。

3.2 根轨迹的校正

对于传递函数为：G(s)系统的要求如下：

0.02725的系统，设计控制器，使得校正后

0.0102125s20.26705调整时间ts0.5s(2%误差带）最大超调量p%10%

根轨迹设计步骤如下：

1）确定闭环期望极点sd 的位置，由最大超调量刘翰林

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MPe—(12)10%

可以得到：ζ=0.591155，近似取ζ= 0.6。由cos可以得到：

θ=0.938306(弧度)其中θ 为位于第二象限的极点和o 点的连线与实轴负方向的夹角。

图3.4 性能指标与根轨迹关系图

又由： ts45% wn可以得到：wn = 13.5328

（cosjsin）于是可以得到期望的闭极点为： 13.5328

2）未校正系统的根轨迹在实轴和虚轴上，不通过闭环期望极点，因此需要对系统进行超前校正，设控制器为： G（Cs）SZC1TS 1TSSpc3）计算超前校正装置应提供的相角，已知期望的闭环主导极点和系统原来的极点的相角和为：

(sd)[arctan(13.5328sin13.5328sin)arctan()2]4.2767613.5328cos5.113613.5328cos5.1136)1.11537

因此校正装置提供的相角为：2(4.276754）设计超前校正装置，已知：θ=0.938306(弧度)对于最大的 a 值的γ 角度可由下式计算得到：刘翰林

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（）0.53405912

图3.5

直线一级倒立摆根轨迹计算图

按最佳确定法作图规则，画出相应的直线，求出超前校正装置的零点和极点，分别为：

zc6.92214;zp26.458校正后系统的开环传递函数为：

k(s6.92214)0.02725

Gc(s)G(s)

s26.4580.01021s2250.267055）由幅值条件|G(sd)H(sd)|1，并且设此系统为单位反馈，所以可以算出k=141.137。6）于是我们得到了系统的控制器： Gc(s)141.137(s6.92214)

s26.458

3.3 MATLAB计算仿真

在MATLAB中建立m文件，输入如下命令： num=[0.02725];

den=[0.0102125 0-0.26705];numlead=-6.92214;denlead=-26.4568;

[Z,P,K]=tf2zp(num,den);Za=[Z;numlead];Pa=[P;denlead];

[num2,den2]=zp2tf(Za,Pa,K);sys=tf(num2,den2);刘翰林

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rlocus(sys);KK=141.137

sys2=zpk(Za,Pa,KK*K);sysc=sys2/(1+sys2);t=0:0.005:5;step(sysc,t)

运行即可以得到以上的计算结果，校正后系统的跟轨迹如下图3.6所示：

Root Locus50403020Imaginary Axis100-10-20-30-40-50-30-25-20-15-10Real Axis-50510

图3.6 校正后的根轨迹图

从图3.6可以看出，系统的三条根轨迹都有位于左半平面的部分，选取适当的K 就可以稳定系统。

系统的阶跃响应如下图3.6所示：刘翰林

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Step Response1.81.61.41.2Amplitude10.80.60.40.2000.511.522.5Time(sec)33.544.55

图3.7 校正后的阶跃响应

从图3.7可以看出，系统有较好的稳定性，但系统存在一定的稳态误差，并且超调过大，为使系统瞬态响应满足要求，还可以采用以下的方法：

第一种方法：增加阻尼，重复上面的设计方法，重新设计，直到系统的响应满足要求。这里不再描述其过程。

第二种方法：在保持φ 角不便的情况下，将校正装置的零点向左侧偏移，以减少闭环零点和极点的影响。

可以采用直接对系统增加零点和极点的方法，即改变控制器的极点和零点，可以得到不同的控制效果。

在MATLAB中建立m文件，输入如下命令： clear;

num=[0.02725];

den=[0.0102125 0-0.26705];numlead=-7;denlead=-30;subplot(2,2,1);rlocus(num,den);

[Z,P,K]=tf2zp(num,den);Za=[Z;numlead];

sysaddzero=zpk(Za,P,K);subplot(2,2,2);

rlocus(sysaddzero);Pa=[P;denlead];

[num2,den2]=zp2tf(Za,Pa,K);sys=tf(num2,den2);subplot(2,2,3);刘翰林

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rlocus(sys);

[KK,poles]=rlocfind(sys);sys2=zpk(Za,Pa,KK*K);subplot(2,2,3);axis([-60 10-10 10]);rlocus(sys2);sysc=sys2/(1+sys2);t=0:0.005:5;subplot(2,2,4);step(sysc,t);

输出如图3.8所示：

Root Locus1010Root Locus5Imaginary AxisImaginary Axis500-5-5-10-10-50Real Axis510-10-30-20-10Real Axis010Root Locus10050Imaginary Axis0-50-100-40-30-20-10Real Axis01020 图3.8 直线一级倒立摆手动校正根轨迹图（增加零点）

3.4 利用 MATLAB Simulink仿真

在Simulink中构造闭环控制模块如图3.9所示：刘翰林

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图3.9 直线一级倒立摆的根轨迹闭环模块

其相对应的根轨迹校正仿真结果如图3.10所示：

图3.10 直线一级倒立摆的根轨迹仿真图

4.利用频域法设计控制器

4.1 频域响应的表示方法

系统对正弦输入信号的响应，称为频率响应。在频率响应方法中，我们在一定范围内改变输入信号的频率，研究其产生的响应。

频率响应可以采用以下三种比较方便的方法进行分析，一种为伯德图或对数坐标图，伯德图采用两幅分离的图来表示，一幅表示幅值和频率的关系，一幅表示相角和频率的关系；一种是极坐标图，极坐标图表示的是当ω 从0 变化到无穷大时，向量G(jw)的矢量轨迹，极坐标图也常称为奈奎斯特图；奈奎斯特稳定判据使我们有可能根据系统的开环频率响应特性信息，研究线性闭环系统的绝的稳定性和相对稳定性。刘翰林

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4.2 频率响应分析

前面我们已经得到了直线一级倒立摆的物理模型，实际系统的开环传递函数为: (s)0.02725 V(s)0.0102125s20.26705其中输入为小车的加速度V(s)，输出为摆杆的角度Φ(s)。

在MATLAB 下绘制系统的Bode 图和奈奎斯特图。绘制Bode 图的命令为：Bode(sys),绘制奈奎奎斯特图的命令为：Nyquist(sys)。在MATLAB 中键入以下命令： num=[0.02725];den=[0.0102125 0-0.26705];z=roots(num)p=roots(den)subplot(2,1,1);bode(num,den)subplot(2,1,2);nyquist(num,den)得到如下图4.1所示的结果： z =

Empty matrix: 0-by-1 p =

5.1136

-5.1136刘翰林

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Bode DiagramPhase(deg)Magnitude(dB)0-50-100-179-180-***0Frequency(rad/sec)x 10-8Nyquist Diagram1Imaginary Axis0.50-0.5-1-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5Real Axis-0.4-0.3-0.2-0.10

图4.1 直线一级倒立摆的Bode图和奈奎斯特图

可以得到，系统没有零点，但存在两个极点，其中一个极点位于右半s 平面，根据奈奎斯特稳定判据，闭环系统稳定的充分必要条件是：当ω从−∞到+∞变化时,开环传递函数G(jω)沿逆时针方向包围-1 点R 圈，其中p 为开环传递函数在右半S 平面内的极点数。对于直线一级倒立摆，由上图我们可以看出，开环传递函数在S 右半平面有一个极点，因此G(jω)需要沿逆时针方向包围-1 点。可以看出，系统的奈奎斯特图并没有逆时针绕-1 点一圈，因此系统不稳定，需要设计控制器来稳定系统。

4.3 频率响应设计及仿真

直线一级倒立摆的频率响应设计可以表示为如下问题：考虑一个单位负反馈系统，其开环传递函数为：

(s)0.02725 2V(s)0.0102125s0.26705设计控制器Gc(s)，使得系统的静态位置误差常数为10，相位裕量为50°，增益裕量等于或大于10 分贝。

根据要求，控制器设计如下：

1)选择控制器，上面我们已经得到了系统的Bode 图，可以看出，给系统增加一个超前刘翰林

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校正就可以满足设计要求，设超前校正装置为：

1sTTs1Kc

Gc(s)KcTs1s1T

已校正系统具有开环传递函数Gc(s)G(s)设

G1(S)KG(s)式中 KKc。

2)根据稳态误差要求计算增益K，1(sT)0.02725KplimGc(s)G(s)limKc10

s0s0(s1T)0.0102125s20.267050.02725K

0.0102125s20.26705可以得到：

Kc98K

于是有：

G1(s)0.0272598 20.0102125s0.267053)在MATLAB 中画出G1(s)的Bode 图如图4.2所示：在MATLAB 中键入以下命令： num= 98*[0.02725];den=[0.0102125 0-0.26705];z=roots(num)p=roots(den)subplot(2,1,1);bode(num,den)subplot(2,1,2);nyquist(num,den)刘翰林

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Bode DiagramMagnitude(dB)Phase(deg)500-50-179-180-***0Frequency(rad/sec)x 10-8Nyquist Diagram1Imaginary Axis0.50-0.5-1-10-9-8-7-6-5Real Axis-4-3-2-10

图4.2 添加增益后的直线一级倒立摆的Bode 图和Nyquist 图

4)可以看出，系统的相位裕量为0°，根据设计要求，系统的相位裕量为50°，因此需要增加的相位裕量为50°，增加超前校正装置会改变Bode 图的幅值曲线，这时增益交界频率会向右移动，必须对增益交界频率增加所造成的G1(j)的相位滞后增量进行补偿，因此，假设需要的最大相位超前量因为：

sinm10.8384

1近似等于57º。

m计算可以得到：

0.087

5)确定了衰减系统，就可以确定超前校正装置的转角频率ω= 1/T和ω＝1/(T)，可以看出，最大相位超前角m发生在两个转角频率的几何中心上，即ω = 1/(T)，在ω = 1/(T)点上，由于包含(Ts +1)/(Ts +1)项，所以幅值的变化为：

1jT1jT1(T)1j11j1刘翰林

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又20lg120lg110.5599分贝，0.0879并且20lgG1j10.5599分贝对应于30.1351rad/s，因此我们选择此频率作为新的增益交界频率c，这一频率相应于ω= 1/(T)，即c1(T)，于是

1c8.934 7

1c101.64 0 2T6)于是校正装置确定为：

Gc(s)Kc KcTs1s8.9347Kc

Ts1s101.6402K1114.8

7)增加校正后系统的Bode和奈魁斯特图如图4.3如下：直线一级倒立摆的频率响应校正MATLAB 程序：

num=98*[0.02725];

den=[0.0102125 0-0.26705];subplot(2,1,1);bode(num,den);subplot(2,1,2);nyquist(num,den);z=roots(num);p=roots(den);za=[z;-8.9347];pa=[p;-101.6402];k=1114.8;

sys=zpk(za,pa,k);subplot(2,1,1)bode(sys);

subplot(2,1,2);nyquist(sys);figure;

sysc=sys/(1+sys);t=0:0.005:5;

impulse(sysc,t);

图 4.3 添加控制器后的直线一级倒立摆Bode 图和Nyquist 图

从Bode 图中可以看出,系统具有要求的相角裕度和幅值裕度，从奈魁斯特图中可以看出，曲线绕-1 点逆时针一圈，因此校正后的系统稳定。

得到系统的单位阶跃响应如图4.4所示：

图4.4 利用频率响应方法校正后系统的单位阶跃响应（一阶控制器）可以看出，系统在遇到干扰后，在1 秒内可以达到新的平衡，但是超调量比较大。

4.4 在MATLAB Simulink 下对系统进行仿真

图4.5 直线一级倒立摆的频率响应校正仿真程序

得到以下仿真结果：

图4.6 频率响应方法校正后系统仿真