全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第31讲 复习题_全国初中数学竞赛辅导

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全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集

第三十一讲复习题

1．分解因式：3x2+5xy-2y2+x＋9y-4．

2．分解因式：(x2＋xy＋y2)(x2+xy+2y2)-12y4．

5．已知

求ab＋cd的值．

为任意正数，证明1＜s＜2.7．设a，b是互不相等的正数，比较M，N的大小．

8．求分式的值．

9．已知：

求证：px＋qy+rz=(p+q+r)(x+y+z)．

11．已知实数x，y满足等式

求x，y的值．

12．若14(a2+b2+c2)=(a＋2b＋3c)2，求a∶b∶c．

13．解方程：x2＋2x-3丨x+1丨+3=0．

14．已知三个二次方程x2-3x＋a=0，2x2＋ax-4=0，ax2＋bx-3=0有公共解，试求整数a和整数b的值．

15．如图2-178所示．在△ABC中，过点B作∠A的平分线的垂线，足为D．DE∥AC交AB于E点．求证：E是AB的中点．

16．求证：直角三角形勾股平方的倒数和等于弦上的高的平方的倒数．

17．如图2-179所示．在△ABC中，延长BC至D，使CD=BC．若BC中点为E，AD=2AE，求证：AB=BC．

18．如图2-180所示．ABCD是平行四边形，BCGH及CDFE都是正方形．求证：AC⊥EG．

19．证明：梯形对角线中点的连线平行于底，并且等于两底差的一半．

20．如图2-181所示．梯形ABCD中，∠ADC=90°，∠AEC=3∠BAE，AB∥CD，E是 BC的中点．求证：

CD=CE．

21．如图2-182所示．梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AC和BD交于M，EF过M且平行于AD，EC和FB交于N，GH过N且平行于AD．求证：

22．如图2-183所示．在矩形ABCD中，M是AD的中点，N是BC的中点，P是CD延长线上的一点，PM交AC于Q．求证：∠QNM=∠MNP．

23．在(凸)四边形ABCD中，求证：

AC·BD≤AB·CD＋AD·BC．

24．如图2-184所示．AD是等腰△ABC底边BC上的高，BM与BN是∠B的三等分角线，分别交AD于M，N点，连CN并延长交AB于E．求证：

25．已知n是正整数，且n2-71能被7n＋55整除，求n的值．

26．求具有下列性质的最小正整数n：

(1)它以数字6结尾；

(2)如果把数字6移到第一位之前，所得的数是原数的4倍．

27．求出整数n，它的2倍被3除余1，3倍被5除余2，5倍被7除余3．

28．把 1，2，3，„，81这 81个数任意排列为：a1，a2，a3，„，a81．计算

丨a1-a2＋a3丨，丨a4-a5＋a6丨，„，丨a79-a80＋a81丨；

再将这27个数任意排列为b1，b2，„，b27，计算

丨b1-b2+b3丨，丨b4-b5+b6丨，„，丨b25-b26＋b27丨．

如此继续下去，最后得到一个数x，问x是奇数还是偶数？

29．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，30．设凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求证：

BC＋AD＞AB+CD．

31．如图2-185．在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别在AB和DC上，EF∥BC，EF平分梯形ABCD的面积，若AD=a，BC=b，求EF的长．

32．四边形ABCD的面积为1，M为AD的中点，N为BC的中点，的面积．

33．已知一元二次方程

x2-x+1-m=0的两实根x1，x2满足丨x1丨+丨x2丨≤5，求实数m的取值范围．

34．求所有的正实数a，使得方程x2-ax＋4a=0仅有整数根．

35．求证：当p，q为奇数时，方程

x2＋px＋q=0

无整数根．

36．如图2-186．已知圆中四弦AB，BD，DC，CA分别等于a，b，c，d(且cd＞ab)．过C引直线CE∥AD交AB的延长线于E，求BE之长．

37．设A={2，x，y}，B={2，x，y2}，其中x，y是整数，并且A∩B={2，4}，A∪B={2，x，2x，16x}，求x，y的值．

38．在梯形ABCD中，与两条平行底边平行的直线和两腰AB，CD交于P，Q(图2-187)．如果AP∶PB=m∶n，那么PQ的值如何用m，n，AD，BC表示？

39．在平行四边形ABCD中，设∠A，∠B，∠C，∠D的平分线两两相交的交点分别为P，Q，R，S，那么四边形PQRS是什么图形？如果原来的四边形ABCD是矩形，那么四边形PQRS又是什么图形？

40．在直角三角形ABC中，以边AB，BC，AC为对应边分别作三个相似三角形，那么这三个相似三角形面积之间有什么关系？

41．如果三角形的三边用m2＋n2，m2-n2，2mn来表示，那么这个三角形的形状如何？如果m2＋n2=4mn，又将怎样？

42．在圆柱形容器中装水，当水的高度为6厘米时，重4.4千克，水高为10厘米时，重6.8千克，试用图像表示水高为0～10厘米时，水高与重量之间的关系，并预测当水高为8厘米时，水重为多少千克？

43．有7张电影票，10个人抽签，为此先做好10个签，其中7个签上写“有票”，3个签上写“无票”，然后10个人排好队按顺序抽签．问第一人与第二人抽到的可能性是否相同？

44．在直径为50毫米(mm)的铁板中，铳出四个互相外切，并且同样大小的垫圈(图2-188)，那么垫圈的最大直径是多少？

45．唐代诗人王之涣的著名诗篇：

白日依山尽，黄河入海流． 欲穷千里目，更上一层楼．

按诗人的想象，要看到千里之外的景物，需要站在多高的建筑物上呢？试化成数学问题加以解释．

46．在一个池塘中，一棵水草AC垂直水面，AB为水草在水面上的部分，如图2-189，问如何利用这根水草测出水深？

47．在一条运河的两侧有两个村子A，B，河的两岸基本上是平行线．现在要在河上架一座桥与河岸垂直，以便使两岸居民互相往来，那么这座桥架在什么地方，才能使从A到B的路程最近呢(图2-190)？

48．要在一条河边修一座水塔，以便从那里给A，B两个城市供水(设A，B在河岸EF的同侧)，那么水塔应建在河岸EF的什么地方，才能使水塔到A，B两市供水管道总长度最短(图2-191)？

49．三个同学在街头散步，发现一辆汽车违反了交通规则．但他们没有完全记住这辆汽车的车号(车号由4位数字组成)，可是第一个同学记住车号的前两位数是相同的，第二个同学记得后两位数也相同，第三个同学记得这个四位数恰好是一个数的平方数．根据这些线索，能找出这辆汽车的车号吗？

50．图2-192是一个弹簧秤的示意图，其中：图(a)表示弹簧称东西前的状况，此时刻度0齐上线，弹簧伸长的初始长度为b．图(b)表示弹簧秤上挂有重物时，弹簧伸长的状况．如果弹簧秤上挂上不同重量的砝码，那么弹簧秤的长度也相应地伸长．现获得如下一组数据：

(1)以x，y的对应值(x，y)为点的坐标，画出散点图；

(2)求出关于x的函数y的表达式，(3)求当x＝500克时，y的长度．