路灯更换策略问题_路灯更换策略模型

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路灯更换策略问题

某路政部门负责城市某条道路的路灯维护。更换路灯时，需要专用云梯车进行线路检测和更换灯泡，向相应的管理部门提出电力使用和道路管制申请，还要向雇佣的各类人员支付报酬等，这些工作需要的费用往往比灯泡本身的费用更高。一般可以采用两类策略更换灯泡：

第一种策略是：灯泡坏1个换1个。这样可以保证灯泡使用到它最长的寿命，并且损坏的路灯都会得到及时的更换，路灯管理部门只需租用或购买一些简单的更换设备，但是这种策略给路灯管理部门的工作带来太多的随意性，实际上很难操作。

第二类策略是：整批更换。即到一定的时间，所有灯泡无论好坏，全部更换，采用这种策略要求路灯管理部门租用或者购买一些大型的更换设备，并且由于损坏的路灯不能都得到及时的更换，会给居民生活带来不便。路灯管理部门的上级单位为了在一定程度上保证民众生活的质量，通过检查路灯是否正常工作对路灯管理部门进行监督，一旦出现灯泡损坏未及时更换，上级单位就会按照损坏时间的长短给出罚款，所以路灯管理部门面临的问题是，多长时间进行一次灯泡的全部更换，换早了，很多灯泡没有坏，换晚了，要承受太多的罚款。问题, 建立一个数学模型，求出更换周期.全部更换一次灯泡的时间不妨称为更换周期,应当以路政部门单位时间支出的总费用最小为目标,确定最佳的更换周期.其中总费用分为两部分:更换灯泡的费用和要承受的罚款.前者是确定的,而后者与灯泡的寿命有关.根据常识,灯泡的寿命是随机的,在平均值附近有较大的波动,需要通过随机调查研究来确定灯泡寿命的一般规律进而计算由于部分灯泡寿命小于更换周期导致的罚款，最终确定最优的更换周期。

3.模型假设

1.假定灯泡的寿命是大致服从正态分布的[t~N(,)] 2.假定没有人为的破坏灯泡的行为且灯泡均为合格的产品 3.整批更换之后,所有灯泡不再有使用的价值

24.符号系统

1.b：整体更换灯泡时单位时间每个灯泡所承受的罚款费用；

c：单个更换灯泡时,更换一个灯泡所需要的费用(包括安装价格和动用设备的费用)6.T：更换周期

单位：天 7.G: 总费用

单位：元

w:单位时间内的费用

单位：元每天 9.T：灯泡的寿命；

11(t-)210.p（t）：寿命t的概率密度函数即:p(t)=)exp(-22211.N：灯泡的个数

5.模型的建立

更换周期为T时所要承受的罚款为

Nb

T0(T-t)p(t))dt

需要的总费用为

G=cN+NbT0(T-t)p(t))dt

为寻求最佳的更换周期,我们将单位时间内支出的费用最小作为评价的标准,即:单位时间内的费用越小该更换周期越优.单位时间内的费用为

w=

G T 求单位时间内的费用的最优解

令得

dw=0

dTT0ctp(t)dt=

b有积分的性质可以知道积分表示的是图形的面积,而且被积函数是大于零的,T为积分上限,所以T越大,积分值越高,即:T与总更换费用和总惩罚费用的比值成正比关系,当更换的费用越少,惩罚的费用越高时,更换的周期应该是越小的,这与实际情况是完全吻合的.