§2.2方势阱(讲稿)_方势阱是什么

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§ 2.2方势阱§ 2.2方势阱

给定V(x)，解不含时薛定格方程，求E和．

一、无限深对称方势阱

V(x)

V(x)0,,xxa2

a2

1、分区求解  通解（1）阱外(xa2)(x)2m2a2 0 ax 2 E(x)0

(x)0

粒子不可能出现在阱外（2）阱内(xa2)(x)2mE2(x)0

 Vmin0，Voutmin  0E 只有束缚态，不简并。

§ 2.2方势阱 V(x)V(x) 本征波函数具有确定的宇称

本征波函数可以按宇称分类。把本征波函数（通解）写成：

(x)AsinkxBcoskx

Bcoskx, (x)Asinkx,正宇称解负宇称解

k2mE

2、确定特解

用波函数“单值、有限、连续”条件，以及波函数一阶导数的连接条件，在通解中选择物理上可以接受的特解。

（1）正宇称解

(x)Bcoskx 连续条件 ()0要求：

2acos(ka22)0

kd2n，n1,3,5,

注意到 k2mE

§ 2.2方势阱能量本征值只能取下面分立值： En2ma222n,2n1,3,5,

相应的本征波函数： n(x)a2cos(nxa),n1,3,5,

波函数的连续条件要求能量本征值取分立值En，而只有那些与En对应的波函数才是物理上可接受的。

能量的量子化  边值条件要求的结果！

[思考] 在确定特解时只用到了在xa2点波函数的连续条件。为什么没有用到波函数一阶导数的连接条件？

（2）负宇称解

(x)Asinkx 连续条件()0要求：

2a sin（能量本征值： Enka2)0

2222man2

§ 2.2方势阱本征波函数： n(x)a2sin(nx),n2,4,6, a

（3）正负宇称解统一写成

En2ma222n2aanxcos(),n1,3,5,,正宇称a2nxsin(),n2,4,6,，负宇称a2

n(x)

无限深对称方势阱的结果

§ 2.2方势阱[思考] 对本征波函数不按宇称分类，如何确定特解？从中体会按宇称分类将使求解简洁。

如果势阱不对称

V0,(x),0xax0,xa22

En2ma2n2,n1,2,3,n(x)a2

sin(nxa)

这时，本征波函数就不具有确定的宇称了。

二、有限深对称方势阱 V(x)

V(x)0,V,0xxa2a2V0

a 2

只讨论束缚态，即 0EV0情况。

1、分区求解  通解

0 ax 2 阱内： 1(x)

2mE21(x)0 § 2.2方势阱

1(x)AcosBsink1x,正宇称解

k1x，负宇称解 k12mE

阱外： 2(x)2m2(EV0)2(x)0，0EV0

Cek2x,(x)2kxDe2,xxa2a2

k22m(V0E)

2、确定特解

必须同时使用和的连续条件，或使用的连续条件。应用连续条件可约去波函数的归一化因子，简单。

（1）正宇称解

1(x)Acosk1x

在 x点的连续条件要求

2a22 aa1()2()22

1()a2()a§ 2.2方势阱

Acos(kk2a21a2)Ak1sin(k1a2)CeCkk

2a22ek1tg(k1a2)k2

这是决定能量本征值的方程。

在xa2点的连续条件将得到相同的方程。采用图解法。令

k1a2,k2a2

方程变为

tg

22mV0a2

22§ 2.2方势阱

正宇称解

通过图解看出：  无论V0a2的值多小，方程组至少有一个解，即至少存在一个束缚态（基态），其宇称为正。

22222mV0a2，开始出现第二个解，即正宇

称第一激发态。

 继续增大V0a2，将依次出现更高激发态。

（2）负宇称解

§ 2.2方势阱

ctg2mVa02222

负宇称解

只有满足条件

mV0a22222224

V0a222m

才可能出现最低的负宇称能级。

§ 2.2方势阱

[思考] 求出本征能量后，如何计算相应的本征波函数？

有限深对称方势阱的结果