2.2两个重要极限、无穷小的比较_有极限的函数无穷小

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石家庄财经职业学院教案

经济数学

【教学过程】

一、两个重要极限

1.重要极限Ⅰlimsinx1 x0x

0型极限． 0

sin口(2）为了强调其一般形式,我们把它形象地写成lim1(方框□代表同一变量)． 口0口

x（3）lim1 x0sinx

sin3x 例1 求 limx0sin5x

sin3x3sin3x5x3sin3x5x3解：limlimlimlim x0sin5xx053xsin5x5x03xx0sin5x

5tan3x例2 求 lim x0x

tan3xsin3x1sin3x3 解：limlim()lim()x0x0x0xxcos3x3xcos3x

sin3x1lim3lim1313 x0x03xcos3x

1cosx例3 求lim x0x2说明：（1）这个重要极限主要解决含有三角函数的xx2sinsin1cosx1lim111解：limlimx0x0x2x22x02

2222

12.重要极限Ⅱlim1e xx

说明：（1）此极限主要解决 1型幂指函数的极限．

（2）它可形象地表示为 lim（1口x1口）e(方框□代表同一变量)． 口

11（3）在上式中，令z，可得 lim(1z)ze.z0x

例4 求 lim(1)x2xx

解：所求极限的类型是1型，令xu，则x2u 2

21u2x22ulim(1)lim(1)lim1e2 xuux2uu

例5 求lim12x x01x

解：所求极限是1型

lim12xlim12xx0x01x12x 

221lim12x2x2x0e2

xx)x1x

xx111 解：lim()lim x1xx11(1)xlim(1)xe

xxx例6 求 lim（x3例7 求 lim xx1

解：所求极限是1型，令xx311，解得x4u1，当x时，x1u

u，于是

14u114u1x3limlim(1)lim(1)lim(1)e4 xx1uuuuuu

小结：（1）利用limxsinu(x)sinx0的形式，其中ux为同一变量； 1求极限时，函数的特点是型，满足limu(x)0u(x)x0x0

11x(（2）用lim(1)求极限时，函数的特点1型幂指函数，其形式为1(x)x)型,x为无穷小量，而xx

指数为无穷大，两者恰好互为倒数；

（3）用两个重要极限公式求极限时，往往用三角公式或代数公式进行

恒等变形或作变量代换，使之成为重要极限的标准形式。练习：limcosxcos3x（结果为4）2x0x

（提示分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限）

二、无穷小的比较

两个无穷小的和、差、积都是无穷小，那么，两个无穷小的商是否仍是无穷小呢？请看下面的例子.当x0时,x,x2,sinx,2x,x3都是无穷小,x22xsinxx

2lim0,lim2,lim1,lim3不存在，x0xx0xx0x0xx

x22xsinxx2

即x0是无穷小;，均不是无穷小。xxxx

3这些情形表明，同为无穷小，但它们趋于0的速度有快有慢，为了比较不同的无穷小趋于0的速度，我们引入无穷小量阶的概念.1.定义设(0)和是同一变化过程中的无穷小，0，则称是比较高阶的无穷小，记作()； 

（2）若 limC，（C是不为零的常数），则称与是同阶无穷小； 

特别地，当C1，即lim1时，称与 是等价无穷小，记作~． （1）若 lim

由定义知, 当x0时, x是比2x高阶的无穷小； 2

2x和 x是同阶无穷小；sinx和x是等价的无穷小,常用的等价无穷小有: 当x0时

sinxx,tanxx,arcsinxx,arctanx

x,1cosx

2.定理 12x,2ln(1x)x,ex1x,11x n

设，,及是同一极限过程中的无穷小，如果（1）~，~(2)lim

则limA(或), limA(或)

说明：根据此定理，在求两个无穷小之比的极限时，若此极限不好求，可用分子、分母各自的等价无穷小来代替，如果选择适当，可简化运算.例8 求limtan3x.x0sin2x

tan3x~3x，sin2x~2x，解：当x0时，所以

tan 3x3x3lim.x0sin 2xx02x2

tanx例9 求 lim3 x0xx22xlim

tanx~x，xx2x~(2x)，解：当x0时，所以 32

tan xx1lim.x0x3x22xx02x2

tanxsinx例10 求 lim.3x0xlim

解: tan xsin xtan x(1cos x),当 x0时，tanxx，1cosx12x 2

 limtan xsin xtan x(1cosx)limx0x0x3x3

x2

x

lim3x0x

1.2

注意：相乘(除)的无穷小都可用各自的等价无穷小代换，但是相加(减)的无穷小的项不能作等价代换，例如 limtanxsinxxxlim0是完全错误的。x0x0x3x3

思考题： sinx1, 对吗？为什么？ xx

sin(x1)2.lim1, 对吗？为什么？ x0x11.lim

3.lim(1x)e对吗？为什么？ x01x