选修高代2_高2物理选修31

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高等代数心得体会

班级学号：082086207

姓名：王

敏

线性代数的主要内容是研究代数学中线性关系的经典理论。由于线性关系是变量之间比较简单的一种关系，而线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，并且一些非线性问题在一定条件下 , 可以转化或近似转化为线性问题，因此线性代数所介绍的思想方法已成为从事科学研究和工程应用工作的必不可少的工具。尤其在计算机高速发展和日益普及的今天，线性代数作为高等学校工科本科各专业的一门重要的基础理论课，其地位和作用更显得重要。

我们学习线性代数主要研究了三种对象：矩阵、方程组和向量.这三种对象的理论是密切相关的，大部分问题在这三种理论中都有等价说法.因此，熟练地从一种理论的叙述转移到另一种去，是学习线性代数时应养成的一种重要习惯和素质.如果说与实际计算结合最多的是矩阵的观点，那么向量的观点则着眼于从整体性和结构性考虑问题，因而可以更深刻、更透彻地揭示线性代数中各种问题的内在联系和本质属性.由此可见，只要掌握矩阵、方程组和向量的内在联系，遇到问题就能左右逢源，举一反三，化难为易.一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。线性代数的概念很多，重要的有：

代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩（矩阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量组），线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。

我们不仅要准确把握住概念的内涵，也要注意相关概念之间的区别与联系。

线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有：

行列式（数字型、字母型）的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量（定义法，特征多项式基础解系法），判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵（亦即用正交变换化二次型为标准形）。

线性代数的知识点很多，看起来错综复杂，这就需要在学习过程中注重知识点的衔接和转化。例如在讲到矩阵的特征值时，给定一个具体的n阶矩阵A，如何求其特征值？我们从定义出发，是A的特征值，是指存在非零列向量，使得A，即为EA0，即齐次线性方程组EAX0有非零解，而我们由前面所学知识可知，EAX0有非零解当且仅当rEAn，即EA0，从而可知矩阵A的特征值即为多项式EA0的根。在证明有关矩阵的秩的一些抽象问题时，由矩阵的秩等于其列(行)向量组的秩，将问题转化为向量组的秩的证明，再由向量组的秩等于其极大无关组所含向量的个数，将问题转化为有关极大无关组的证明，而极大无关组我们教材中有许多相关结论可以应用，从而使问题得到顺利解决，我们在证明命题rABminrA,rB时即采用的此方法。

二、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力。

线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，学习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。

例如：设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，且AB＝0，那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax＝0的解，再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系，可以有

r（B）≤n－r（A）即r（A）＋r（B）≤n

进而可求矩阵A或B中的一些参数

通过用不同的方式描述概念加深对概念的理解。例如向量组1,2,,s线性无关定义为当且仅当k1k2ks0时，等式k11k22kss0才成立，或者说向量组1,2,,s线性无关当且仅当若k1,k2,,ks不全为零，则k11k22kss0，或者说如果k1,k2,，ks使得等式k11k22kss0成立，我们即可得k1k2ks0。

上述例题说明，线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，代数题的综合性与灵活性就较大，同学们整理时要注重串联、衔接与转换。

三、注重逻辑性与叙述表述

线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。

线性代数中矩阵的三种关系：矩阵的等价、相似、合同，这三种关系均为等价关系，但矩阵的等价是对于同型矩阵而言，同型矩阵A与B等价是指存在可逆矩阵P与Q,使得PAQ=B,本质上即为A与B有相同的秩；而相似与合同均是对于方阵而言，A与B相似是指存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，A与B合同是指存在可逆矩阵P，使P’AP=B，从而相似或合同的矩阵一定等价，也就是说矩阵的等价在这三种关系中是最弱的一种关系。那么相似与合同这两种关系谁要更强呢？对于一般矩阵而言无法比较，但对于实对称矩阵来说，两实对称矩阵相似当且仅当它们有相同的特征值，而两实对称矩阵合同当且仅当它们有相同的正惯性指数和秩，从而两实对称矩阵相似必然合同，但合同未必相似。