利用导数求极大值、极小值_导数的极大值极小值

利用导数求极大值、极小值由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“导数的极大值极小值”。

1利用导数证明不等式

1x11ln； x1xx

11111（2）已知：nN且n2，求证：lnn1。23n2n1

11（1）令1t，由x>0，∴t>1，x xt1

1原不等式等价于1lntt1 t（1）已知：x(0)，求证

令f(t)=t-1-lnt，∵f(t)1当t(1,)时，有f(t)0，∴函数f(t)在t(1,)递增 ∴f(t)>f(1)即t-1>lnt 1t

另令g(t)lnt1，则有g(t)1

tt10 t2

∴g(t)在(1,)上递增，∴g(t)>g(1)=0 ∴lnt1 综上得1t1x11ln x1xx

（2）由（1）令x=1,2,……(n-1)并相加得

11123n11lnlnln1 23n12n12n1

11111即得lnn1 23n2n1

2利用导数求极大值、极小值

已知x2是函数f(x)(xax2a3)e的一个极值点（e2.718）．（I）求实数a的值；

（II）求函数f(x)在x[,3]的最大值和最小值．

解：（I）由f(x)(xax2a3)e可得 2x2x32

f(x)(2xa)ex(x2ax2a3)ex[x2(2a)xa3]ex……（4分）∵x2是函数f(x)的一个极值点，∴f(2)0

2∴(a5)e0，解得a5……………（6分）

（II）由f(x)(x2)(x1)ex0，得f(x)在(,1)递增，在(2,)递增，由f(x)0，得f(x)在在(1,2)递减

∴f(2)e2是f(x)在x[,3]的最小值；……………（8分）3

3733731333322f()e，f(3)e ∵f(3)f()eee2(4e7)0,f(3)f()244224

3∴f(x)在x[,3]的最大值是f(3)e3．…… 2