构造函证不等式_构造不等式

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造函证不等式

b－a2

求证：>1－(b>a)．(*)

2eb＋1x2

证明：令φ(x)＝＋x－1(x≥0)，2e＋112e

则φ－

2（e＋1）

（e＋1）－4e（e－1）＝x2x2≥0(仅当x＝0时等号成立)．

2（e＋1）2（e＋1）

∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴x>0时，φ(x)>φ(0)＝0.令x＝b－a，即得(*)式，结论得证．

b－ab－a

求证：(b－a)e＋(b－a)－2e＋2>0．

xx

证明：设函数u(x)＝xe＋x－2e＋2(x≥0)，xxx

则u′(x)＝e＋xe＋1－2e，xxxxx

令h(x)＝u′(x)，则h′(x)＝e＋e＋xe－2e＝xe≥0(仅当x＝0时等号成立)，∴u′(x)单调递增，∴当x>0时，u′(x)>u′(0)＝0，∴u(x)单调递增． 当x>0时，u(x)>u(0)＝0.b－ab－a

令x＝b－a，则得(b－a)e＋(b－a)－2e＋2>0，a＋b与f（b）－f（a）x已知函数f(x)＝e，x∈R.设a

f（b）－f（a）a＋be－e21．解： f－e＝

b－a2b－a

b

a

x

x

x

x

ab

＝

eebeae

ba

ba

ab2ab2

e＝[eba

ab2

ba2

e

ab2

(ba)]

1x

e－2＝0.e

11xx

设函数u(x)＝e －u′(x)＝e＋ee∴u′(x)≥0(仅当x＝0时等号成立)，∴u(x)单调递增．

当x>0时，u(x)>u(0)＝0.b－a令x＝e

2∴

ba2

e

ab2

(ba)>0.f（b）－f（a）a＋b.b－a2