周易中的数学思想_周易的基本思想
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《周易》中的数学及数学思维
苟润龙
（陇西县文峰中学 甘肃 陇西 748000）
摘要：《周易》中渗透了许多数学知识和数学思维方法，本文就其加以阐述。关键词：《周易》、数学、数学思维
中图分类号：O112 文献标识码：A
The Mathematical and Mathematics Thinking Method in the Book of Zhouyi Gou Run-long(Wenfeng Middle School Longxi Gansu 748000)Abstract The book of Zhouyi have permeated a lot of mathematics knowledge and mathematics thinking method ,It of this text is explained.Keyword Zhouyi，mathematical, mathematics thinking method
1． 引言
《周易》是我国流传至今最古老的典籍之一，其包括两部分：一部分是《周易古经》，分上下篇；一部分是《周易大传》计十篇，又名“十翼”。《周易古经》又名《易经》，自战国时代起，就被儒家奉为经典，近三千年来对中国文化的演进产生了重大影响。
《周易》中贯穿的部分内容及其思维过程是我国先民对数学及其思维的最佳表述。2．《周易》与数学内容的相通性
2.1组合数的萌芽
《易经》中讲述的阴阳八卦，预言吉凶，在这部书中，已有了组合数的萌芽，《易经》是世界上公认的第一部讨论排列的书。
“易”就是变化的意思。《易经》声称：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”。《易经》中组成八卦的符号叫做爻，“━”是阳爻，“ ”是阴爻。两种爻合称两仪。每次取两个爻，只有四种排列，叫做四象。即：“ ”太阳、“ ”少阴、“ ”少阳、“ ”太阴，每次取三个爻，共有八种不同的排列，叫做八卦，即：乾“ ”、坤“ ”、震“ ”、巽“ ”、坎“ ”、离“ ”、艮“ ”、兑“ ”，将其分为八个方向和八卦对应起来，常画在罗盘的周围。每次取六个爻可得六十四种不同的排列，称做六十四卦。
四象，八卦，六十四卦等的排列相当于数学中有重复的排列，这是世界上最早的排列问题。
2.2《周易》是二进制的鼻祖
《周易》中的八卦，六十四卦还与数学的二进制有关。考察代表八卦或六十四卦的卦符时，就会发现，实际上只有两种符号——实线和虚线或阴爻与阳爻，这两种具有相反和互补属性的符号有规律地构成了所有的卦符，决定了所有的卦象，代表天地万物间发展变化的规律，真可谓万变不离其宗。这种阴阳的组合是怎样的一种规律呢？从数学上说是一种二进制的组合。在《易经》中的二进制还不只是有和无的关系，而是阴与阳或正与负的关系。《易经》中的二进制代表“+”和“-”或“+1”和“-1”。如果把“━”和“ ”分别用1和0 表示，八卦就可表示为“ ”０００、“ ”００１、“ ”０１０、“
”０１１、“ ”１００、“
”１０１、“
”１１０、“ ”１１１。这就是现代用二进制记数法表示的０、１、２、３、４、５、６、７.八卦引入欧洲后，引起了１７世纪德国数学家莱布尼茨的极大兴趣。他称：“易图是流传于宇宙科学中最古老的纪念物”。他研究后得到启发，建立了二进制。二进制是现代计算机所采用的主要进位制。
在古人眼中，二进制是天地间规律的体现，是天地间表现出了二进制的主要规律，而不是人们根据需要作了一个方便的选择，冯.诺依曼得到启发，以二进制代替十进制，大大改良了计算机的性能，奠定了现代计算机的基础。计算机的诞生是人类继发展数学以后又一次数的革命。
２.３最早的集合与概率学
《周易》是以八卦构成的，每卦有卦辞，每爻有爻辞。卦辞与爻辞是经文，称为《易经》，所谓八卦，既是象征构成物质世界的八种成分：天（乾）、地（坤）、雷（震）、风（巽）、水（坎）、火（离）、山（艮）、泽（兑），其本源是所谓由“一”的自身变化而发展为“八”，天地等八种相矛盾排斥而产生了宇宙万物。这就是说，由“一”变生“二”，“二”变生“三”，“三”变生“八”，八卦发展为六十四卦，六十四卦又发展成为三百八十四爻。
相互矛盾的“东西”放在一起，在集合中我们认其为元素，而这些“东西”又满足确定性、无序性、互异性三种性质，而“一”则为全集。每一卦，每一爻 都固定了卦辞与爻辞，如“泰”“ ”、“否”“ ”等，而‘否极泰来’则是我们熟知的。每一个卦辞都对应一个或多个卦，正如今天数学中映射中原象与象之间的关系一致。
在占卜时，卦卦之间，爻爻之间所发生的卦象，爻象都是一个随机事件。六十四卦，卦卦出现的概率相等，三百八十四爻中，爻爻间概率相等。而其中有几个象则表现相同的意思。我国民间的抽签，占卜，其实就是概率学的一部分，是概率学在民间从古至今最为代表性的运用，而理论基础则是《周易》。
《周易》在整个历史演化过程中，渗透了许多学科，而最重要的是数学，数学哲学方面。其中最显眼的是变化的非连续问题，当古希腊人芝诺提出那关于连续性问题的千古悖论的时候，中国古人已经甩开连续性事件大踏步前进，用二进制表达了量子化的自然和社会规律。３．《周易》思维与数学思维
《周易》思维在世界观上是“天人合一”的整体思维、“唯变所适”的变易思维，以及由此构成的“一阴一阳”的辨证思维；在认识论上是“玄览静观”的直觉思维，“立象以尽意”的形象思维，“触类旁同”的类比思维；社会历史观上是“五德始终”的循环思维，“利用厚生”的重生思维，“经世致用”的实用思维，“吾与点也”的审美思维，“与天唯一”的超越思维。其中辨证思维乃是传统思维方式的最基本特征，其他思维方式都可看作是辨证思维的具体表现。
《周易》是一部由象数符号和语言符号共同构成的特殊的文化典籍，因此，它便是以一种独特的形式来表现数学思维的。数学思维是人脑运用数学符号与数学语言对数学对象间接、概括的反映过程。数学思维是一种高级形态的思维，属于现代抽象思维的范畴。一.数学思维的抽象层次之多，程度之高，为一般抽象思维所不及，而《周易》思维在从古至今的演进中是非常抽象的；二.数学思维的语言是一种高度抽象化、形式化的符号语言，同样《周易》中的符号语言则用二进制的阳爻、阴爻来表现；三.数学思维不仅是一种高级形态的抽象思维，而且也包括着形象思维的成分。综合以上，《周易》思维方法中，有很多是今天的数学思维方法。
3.1.形象思维
在数学思维中形象思维的基本元素是事物的形象（表象）。“万物皆有形”，任何事物都有区别于其他事物的存在形式，简称为形。数学研究这种对象的“形”，也称为数学形象，一般并不是初级的知觉形象，而是通过逻辑思维的渗透并由数学语言，符号作为物质外壳，运用典型化手段概括的理想化形象是一种数学表象。
形象思维的基本元素是事物的形象，表现在《周易》中是以“卦象”为思维的出发点和先验模式，以取象，运数为基本思维方法，以具有转换性能的“象数”，“义理”两种信息系统为思维的主要形式，以外延界限模糊的“类”的概念对指谓对象及其发展趋势作动态的，整体的直觉把握和综合的，多值的价值判断。从本质上说，这种思维就是形象思维。
《周易》形象思维兼用“象”“数”，“象”与“数”都是《周易》形象思维的基本工具，“观象”“取象”和“极数”“运数”都是《周易》形象思维的基本形式。在易学史上，有所谓“由数定象”和“由象定数”之争，这种争论一直持续了很久。其实《周易》之“象”“数”是相辅相成，密不可分的，它们在思维中是同时发挥作用的，而且在形象思维的极致状态，“象”与“数”是一而二，二而一的。
３.２.整体思维
数学中整体思维主要体现在应用数学方面，如运筹学中的运用最重要的就是整体思维。其将所研究对象视为一个体系，完善和谐的有机整体，而且把具体事物也视为是一个与周围其它事物有着密切联系的具体而微的有机整体。
《周易》用整体思维看宇宙，天人，社会，历史，人生。有一套模拟宇宙万物的运动过程和规律的完整的象数符号系统。
《周易》整体思维在中国是一种占主导地位的思维方式，“天人合一”是典型的思维结晶。它让人从整体，宏观的角度把握世界，也可以使人满足笼统，模糊的认识而自以为是，缺乏精确细致的科学精神。
整体思维是一种系统思维，《周易》虽然没有说明其用系统思维，但事实上，其思维的核心依然是系统思维。这种思维影响着整个系统科学的发展。
３.３.变易思维
数学中变易思维即以变化，动态的观点看待研究对象，解决问题的思维方式，如函数问题的一般解题思维。
《周易》简称《易》，其基本含义即为“变易”。《周易》认为宇宙及其中的万事万物都处于永远向前的运动变化过程中。《易传.系辞上》曰：
富有之谓大业，日新之谓盛德，生生之谓易。
如函数中自变量与变量的关系一样，一者变，则另一随之变。宇宙万物都处于永无休止的运动变化过程之中。
《周易》还指出了事物的变化是由渐变到突变，最后走向反面的过程，提出了“物极必反”的规律，《易传.文言.坤》曰：“积善之家必有余庆，积不善之家必有余殃”。《易传.系辞下》曰：“善不积不足以成名，恶不积不足以灭身”。这里指出，事物的变化有两种，一种是变坏，一种是变好。正如一元一次函数一样，随着X的取值Y随之改变。说明了因与果。《周易》认为，生生不息，物极必反，循环不已等作为宇宙万物运动变化的特征，规律是永远存在的，任何一个变量的变化都影响着最终的结果。
《周易》的符号系统是一套变幻莫测，深奥精深的提示性符号，那么将符号变化过程与函数变量变化类同，我们自然可以在实际数学中随时发现问题，积极发挥，触类旁通。
3.4.灵感思维
数学中的灵感思维是在思想的高度集中，情趣达到高潮时突然表现出来的一种数学创造能力。按照潜意识理论，灵感思维是显意识与潜意识相互触通和交互作用的结果，其积淀着理性与非理性的方式。
灵感思维在《周易》中是一种极为重要的思维方式，这是《周易》形象思维，整体思维，变易思维的必然要求。
《周易》本身即是一部灵感思维的典范之作，因此，我们把握，理解《周易》时也须以直觉思维去进行。充分发挥我们的想象力和悟性，根据不同的情境去涵咏体察《周易》原理，以正确指导实际数学。数学思维在解题中亦需将创新、猜想、联想融于解题过程之中，这样学习中才会有所突破，有所成就。3.5.类比思维
类比是根据两类或多类对象的某些属性相同或相似，而推出它们的某种其他属性相同或类似的思维形式，又称为类比推理。类比是以比较为基础的，在对两个或两类对象属性进行比较时，如发现它们有较多的相同点或类似点，则可以把其中一个或一类对象的另外一种属性推移到另一个或另一类对象中去。
类比主要有两种表现形式，即分类和类推：
《周易》认识到一个重要规律：“方以类聚，物以群分”。《易传》曰：“万物睽而其事类也”。《周易》把万物按其类特性的不同分为阴阳两类，太阴，少阴，太阳，少阳四大类„„《易传.系辞下》还指出：“ 其称名也，杂而不越„„其称名也小，其取类也大”。即是说，《周易》命名各类事物的名称看起来是小的，但它所象征的同类事物却是无数的，而且各类事物名称虽然很复杂，但不会逾越混杂。
《周易》中所表现出来的类比思维在数学上表现为知识间的嫁接，移植。把在不同类的数学知识移用到另一类中，其实现阶段数学的各个子学科都是类比思维的结果。
3.6.对称思维
对称通常是指图形或物体对某个点，直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应的关系。
《周易》中对称不可胜数，其认为宇宙万物都是相互对立的，这样就构成了庞大的对称系统。八卦是对称的，乾对坤，雷对风„„六十四卦是对称的„„太极是对称的典型，首先其外围选圆这个对称性最高的几何图形，而后其内部的曲线更是完美的反映了对称美。正因为对称，才是其流传久远的原因，也是人们研究兴趣不断提升的因素。
《周易》中虽未提到对称，但其第一次提到了对偶的概念，不过称之为“对耦”，充分说明《周易》是一部伟大的“对称”之书。其运用到数学中首当其冲的是几何学，而《几何原本》提出对称则比《周易》晚了许多。4.《周易》是数学，数学不是《周易》
《周易》中的数学不仅包括初等数学的许多问题，更涉及到高等数学的部分内容。《周易》对后来科学进步，数学发展的过程是有重要影响的。整部《周易》其实就是《九章算术》之前中国数学的发展经典，《九章算术》中明确提出了八卦之术，六爻之术，充分说明了这一点，其卦与爻组成的数学，是世界最古老的“数学”书之一。
参考资料：
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