配方法的拓展与应用[1]_配方法拓展与解析

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配方法的拓展与应用

浙江省永康市永康中学（321300）程红妹

配方法，在数学上是指将代数式通过凑配等手段，得到完全平方形式，再利用诸如完全平方项是非负数这一性质达到增加题目条件等目的的一种数学方法，同一个式子可以有不同的配方结果，可以配一个平方式，也可以配多个平方式。配方的对象也具有多样性，数、字母、式、函数关系等都可以进行配方。配方法在解题中有广泛的应用，它可用于无理式证明、化简、求代数式的值、解方程、解不等式、求最值、证明条件等式等。

新规程标准提出通过学习使学生能够获得基本的数学思想方法，浙教版八（下）数学学习了用配方法解一元二次方程，配方法作为一种常用的数学方法，针对浙八（下）内容，我对配方法的应用进行了一些拓展。

1．配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用

在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。

例

1、求二次根式a22a3中字母a的取值范围

分析：根据二次根式的定义，必须被开方数大于等于零，再观察被开方数可以发现可以利用配方法求得。2解：a2a3(a22a1)2(a1)2

2因为无论a取何值，都有(a1)20。

所以a的取值范围是全体实数。

点评：经过配方，观察被开方数，然后利用被开方数必须大于等于零求得所需要的解。

2．配方法在化简二次根式中的应用

在二次根式的化简中，也经常使用配方法。

例

2、化简6

2分析：题中含有两个根号，化简比较困难，但根据题目的结构特征，可以发现625可以写成521(1)2，从而使题目得到化简。解：62

点评：521(5)2212(1)21 a2的题型，一般可以转化为(xy)2xy（其中xya）来化简。xyb

3．配方法在证明代数式的值为正数、负数等方面的应用

在证明代数式的值为正数或负数，配方法也是一种重要的方法。

例

3、不管x取什么实数，x2x3的值一定是个负数，请说明理由。

分析：本题主要考查利用配方法说明代数式的值恒小于0，说明一个二次三项式恒小于2

10的方法是通过配方将二次三项式化成“a+负数”的形式。

解：x22x3(x22x)3(x22x1)13(x1)2

2∵(x1)20，∴(x1)220。

因此，无论x取什么实数，x2x3的值是个负数。

点评：证明一个二次三项式恒小于0的方法是通过配方将二次三项式化成“a+负数”的形式来证明。

例

4、不管x取什么实数，x2x5的值一定是一个正数，你能说明理由吗？ 分析：要证x2x5一定是一个正数，只要把它化为“a+正数”的形式即可。解：x22x5(x22x1)4(x1)2

4∵(x1)20，∴(x1)240

因此，不管x取什么实数，x2x5的值一定是个正数。

点评：证明一个二次三项式恒大于0的方法是通过配方将二次三项式化成 “a+正数”的形式来证明。

4．配方法在解某些二元二次方程中的应用

解二元二次方程，在课程标准中不属于考试内容，但有些问题，还是可以利用我们所学的方法得以解决。

例

5、解方程xy4x2y50。

分析：本题看上去是一个二元二次方程的问题，实质上它是一个非负数问题。

解：由xy4x2y50整理为 22222222222

2(x24x4)(y22y1)0

(x2)2(y1)20

∵(x2)0，(y1)0，∴x20，y10，∴x2，y1。

2222点评：把方程xy4x2y50转化为方程组x20问题，把生疏问题转

y10

化为熟悉问题，体现了数学的转化思想，正是我们学习数学的真正目的。

5．配方法在求最大值、最小值中的应用

在代数式求最值中，利用配方法求最值是一种重要的方法。可以使我们很跨求出所要求的最值。

例

6、若x为任意实数，求x4x7的最小值。

分析：求x4x7的最小值，可以先将它化成(x2)23，根据(x2)20，求得它的最小值为3。

解：x24x7(x24x4)3(x2)2

3∵(x2)20，∴(x2)233，因此，x4x7的最小值为3。

点评：配方法是求一元二次方程根的一种方法，也是推导求根公式的工具，同时也是求二次三项式最值的一种常用方法。

例

7、若x为任意实数，求2x4x7的最大值。

分析：求2x4x7最大值，可以先将它化成2(x1)29，然后根据2222

22(x1)20，求得它的最大值为9。

解：2x24x72(x22x)72(x22x1)272(x1)29 ∵2(x1)0，∴2(x1)99

因此2x4x7有最大值为9。

点评：求二次三项式的最大值或最小值，可以先将它们化成axbc的形式，然2222

后再判断，当a0时，它有最小值c；当a0时，它有最大值c。

6．配方法在一元二次方程根的判别式中的应用

配方法是求一元二次方程根的一种方法，也是推导求根公式的工具，并且也是解决其他问题的方法，其用途相当广泛。在一元二次方程根的判别式中也经常要应用到配方法。

例

8、证明：对于任何实数m，关于x的方程2x3(m1)xm4m70都有两个不相等的实数根。

分析：由于方程中含有字母系数m，而要证明的是方程有两个不相等的实数根，只需证明判别式恒大于零即可。

解：b4ac[3(m1)]42(m4m7)2222

29m218m98m232m56m214m6

5(m214m49)16(m7)216

∵(m7)20，∴(m7)2160，即b4ac0。

∴方程有两个不相等的实数根。

点评：利用判别式证明方程根的情况是一种常见的题型，其实质上判断判别式的正负，一般都可以利用配方法解决。

例

9、试判断关于x的方程x2ax2aa50的根的情况。

分析：由于方程中含有字母系数a，要判别方程根的情况，实质上是要判断判别式的正负。

解：b24ac(2a)241(2a2a5)4a28a24a20

4a24a20(4a24a1)120(2a1)219

∵(2a1)20，∴(2a1)2190，∴方程没有实数根。

点评：要判断方程根的情况，其实质上判断判别式的正负，而判断判别式的正负，最常用的方法就是配方法。

7．配方法在恒等变形中的应用

配方法在等式的恒等变形中也经常用到，特别是含有多个二次式时，经常把他们分别配方，转变为平方式。然后再进行解决。

例

10、已知abcabbcac又知a、b、c为三角形的三条边，求证：该三角形是等边三角形。

分析：题中abcabbcac分别含有a、b、c的二次式，提醒我们不妨利用配方法进行解答。

证明：∵abcabbcac，∴abcabbcac0，222∴2(abcabbcac)0，∴2a2b2c2ab2bc2ac0，222∴(ab)(bc)(ca)0，∴ab0，bc0，ca0，***222

∴ab，bc，ca，∴abc。

∴三角形是等边三角形。

点评：配方法在等式恒等变形中的应用，经常会让我们收到意想不到的效果。

配方法是一种重要的数学方法，它既是恒等变形的重要手段，又是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，还是挖掘题目当中隐含条件的有力工具。它不仅可以用来解一元二次方程，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法，是数学学习中的一种重要方法。