校本教材 等差数列_等差数列前n项和教材

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2.2等差数列

2.2.1等 差 数 列

请看下面一些数列：

鞋的尺码，按照国家统一规定，有，22.5，23，23.5，24，24.5，①某月星期日的日期为

2，9，16，23，30； ② 一个梯子共8级，自上而下每一级的宽度（单位：cm）为

89，83，77，71，65，59，53，47.③ 上面几个数列有什么共同的特点？

对于数列①，从第二项起每一项与前一项的差都等于0.5； 对于数列②，从第二项起每一项与前一项的差都等于7;对于数列③，从第二项起每一项与前一项的差都等于-6;这就是说，这些数列具有这样的共同特点：从第二项起每一项与前一项的差都等于同一个常数.一般的，如果一个数列从第二项起每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.例1.已知数列an的通项公式为an3n5,这个数列是等差数列吗？ 解：因为当n2时，anan13n53n153, 所以数列an是等差数列，且公差是3.如果等差数列an的首项是a1,公差为 d,那么根据等差数列的定义得到

a2a1da3a2da4a3d 因此 a2a1d，a3a2da12d, a4a3da13d 由此归纳出等差数列的通项公式为

ana1(n1)d.例2已知等差数列10,7,4：（1）试求此数列的第10项；

（2）-40是不是这儿数列的项？-56是不是这个数列的项？如果是，是第几项？

解：（1）设数列为an,由a110,d3,得到通项公式an103(n1)133n,a101331017.(2)如果-40是数列中的项，则方程

-4013-3n

有正整数解，解这个方程，得n53,所以-40不是这个数列的项.3如果-40是数列中的项，则方程

-5613-3n

有正整数解，解这个方程，n23,所以-56是这个数列的第23项.如果三个数x ,A ,y组成等差数列，那么A叫x和y的等差中项.如果A是x和y的等差中项，则A

xy.2

例3.已知等差数列的公差为d，第m项为am,试求其第n项an.解：由等差数列的通项公式可知

ana1(n1)d., ama1(m1)d 两试相减，得

anam(nm)d, 所以 anam(nm)d.例4.梯子共有5级，从上往下数第一级宽35厘米，第5级宽43厘米，且各级的宽度依次成等差数列an,求第2，3，4的宽度.解：依题意，a135，a543，由等差数列的通项公式，得公差 d 因此 a237，a339，a441.答：梯子第2，3，4级的宽度分别为37cm , 39 cm ,41 cm.例5.已知等差数列an的首项 a117,公差d0.6,此等差数列从第几项开始为负数？

解：由题意，an的通项公式为an170.6(n1).令an170.6(n1)0 解得n8829.3.3a5a12, 51又因为an是递减数列，所以此数列从第30项开始出现负数.练习A 1.（1）求等差数列2，5，8的第4项与第10项；

7，2的第15项；

（2）求等差数列12，（3）100是不是等差数列3,711的项？79是不是这个数列的项，是第几项？如果不是，说明理由.2.在等差数列an中：

（1）已知a56，a716，求a1与公差d；（2）已知a320，a101，求a15.练习B 1.求下列各题中两个数的等差中项：（1）30 与18 ,（2）-13与9 2.由下列等差数列的通项公式，求首项和公差：（1）an3n5 ,(2)an122n

2.2.2等差数列的前 n项和

如图2-6堆放着一堆钢管，最上层堆了4根，下面每一层比上一层多放一根，共8层，这堆钢管共有多少根？

这堆钢管从上至下每层钢管的数量组成首项a14,公差d1的等差数列.求这堆钢管有多少根，就是求这个等差数列前8项的和.怎样求这8项的和？

这堆钢管最下层的数量是a811.我们设想，在这堆钢管旁，如图2-7所示堆放同样数量的钢管，这时每层都有钢管(4+11)根，因此这堆钢管的总数是

（4+11）82=

411860.2上述算法对等差数列前n项和的计算具有一般性.设等差数列an的前n项和为Sn,即 Sna1a2a3an, 根据an的通项公式，上式可以写成Sna1(a1d)(a2d)a1(n1)d, ①

再把项的顺序反过来，Snan(and)(an2d)an(n1)d, ② 把①②两边分别相加，得

2Sn(a1an)(a1an)(a1an)n(a1an), 由此得到，求等差数列an的前n 项和的公式 Snn(a1an）.2这就是说，等差数列的n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.代入等差数列的通项公式，上面的公式还可以写成 Snna1n(n1)d.2例1 等差数列 an的公差为2，第20项a2029,求前20项的和S20.解：因为29=a1192,解得a19,所以 S2020(929)200 2例2.已知数列an的前n项和公式为Sn2n230n：（1）这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式；（2）求使得Sn最小的序号n的值.解：（1）将n-1代入数列的前n项的公式，得 Sn-12(n1)230(n1).因此

anSnSn14n32(n2), 当n=1时，a1S123028,也适合上式，所以这个数列的通项公式为 an4n32.又因为

anan14n324(n1)324(n2), 所以an是等差数列(2)Sn2n230n2(n152225).22 又因为n是正整数，所以当n=7或8时，Sn最小，最小值是-112 练习A 1.根据下列各题中的条件，求相应等差数列an的前n项的Sn:(1)a16,d=3 ,n=10；（2）a12，an16,n=8；（3）a410,a102,n=12.9，13，，73的各项的和； 2.（1）求等差数列5，60，，-12的各项的和；

（2）求等差数列63，（3）在两位正整数中，有多少个是5的倍数？求它们的和；

（4）在两位正整数中，有多少个除以3余1的数？求他们的和.练习B 3，2，1前多少项和是-18？ 1.等差数列4，11，8前多少项的和最大？为什么？ 2.等差数列14，习题2-2 A 1.根据下列等差数列的通项公式，求首项和公差：

（1）an2n7；(2)an22n.2.在等差数列an中：（1）已知a16,d=3,求a8；（2）a410,a104,求a7及d；

(3)已知a212,an20,d=-2,求n;(4)已知a71,d=-2, 求a1 23.在12与60之间插入3个数，使这5个数成等差数列，求插入的3个数.4.求下列各题中两个数的等差中项：

（1）1-3与32

（2）（ab)2与（ab)2 5.根据下列各题中的条件，求相应等差数列an的前n项的Sn:(1)a12,d=5 ,n=10;(2)a12,an6,n=12;(3)d=-5,a102,n=8.练习B 1.等差数列 an中，已知a3a116,求S13.2.等差数列an的前n项的Sn,已知S90,S100,则此等差数列的前n项和中，n是多少时取得最小值？

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