高数_极限[1]_高数极限

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求函

摘要: 本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。

关键词：函数极限

引言

在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。

主要内容

一、求函数极限的方法

1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明: limx3x2x22x21

证: 由 x23x2x21x24x4x2

x22x2x2

0 取 则当0x2 时,就有

x23x2x21

由函数极限定义有: 2limx3x2x2x212、利用极限的四则运算性质

若 limf(x)A limg(x)B

xx0xx0(I)limf(x)g(x) limf(x)xxlimg(x)AB

0xx0xx0(II)limf(x)g(x)limf(x)limg(x)AB

xx0xx0xx0(III)若 B≠0 则：

limlimf(x)xf(x)0Axxg(x)x0limxxg(x)B

0IV）limcf(x)climf(x)cA（c为常数）

xx0xx0上述性质对于x,x,x时也同样成立

（例：求 limx3x5x422 2x2解: limx3x523255x2x4=

2423、约去零因式（此法适用于xx0时,00型例: 求32limxx16x20x37x216x12

x2解:原式=limx33x210x(2x26x20)x2x35x26x(2x210x12)

lim(x2)(x23x10)(x2)(x x225x6)=(x2lim3x10)5)(x2)x2(x25x6)=

xlim(x2(x2)(x3)=x5x37

xlim

24、通分法（适用于型）例: 求 lim(41x24x22x)

解: 原式=lim4(2x)(2x)(2x)

x2=lim(2x)(2x)(2x)

x23

=

=lim12xx214

5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）

设函数f(x)、g(x)满足：（I）limf(x)0

xx0(II)g(x)M(M为正整数)则：limg(x)f(x)0

xx0例: 求 limxsin1x

x0 解: 由 lim0 而 sin1x1

x0x故 原式 =limxsin1x0x06、利用无穷小量与无穷大量的关系。

（I）若：limf(x) 则 lim1f(x)0

(II)若: limf(x)0

且

f(x)≠0 lim1f(x)

例: 求下列极限 ① lim1lim1xx5 ②x1x1

则4

解: 由 lim(x5) 故 limx1x5x0

由 lim(x1)0

故

x1lim1x1x1=

7、等价无穷小代换法

设,',,' 都是同一极限过程中的无穷小量，且有：

'' 则 lim~,~，lim'' 存在，= lim'' 也存在，且有lim1cosxxsinx222

例:求极限lim 解: sinx22x0

2~x, 1cosx~(x)222

(x) lim221cosxxsinx222x0=

12222xx

注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”

8、利用两个重要的极限。

(A)limsinx1(B)lim(11x0xx)xex

但我们经常使用的是它们的变形：

(A')limsin(x)(x)1,((x)0)

(B')lim(11x))(x)(e,((x))例：求下列函数极限

x(1)、lima1(2)、limlncosaxx0xlncosbx

x0x1u,则 xln(1u)ax 解：（1）令a1alna 于是xulnln(1u)又当x0时，u0x故有：lima1lnax0xlimulnau0ln(1u)limlnau0ln(1u)limu01lnauln(1u)u(2)、原式limln[(1(cosax1)]ln[1(cosbx1)]

x0limln[(1(cosax1)]cosbxx0cosax11cosax1 ln[1(cosbx1)]cosbx1limcosbx1x0cosax1

2sin2sinlimx02a2x)2x(bx)222b2xlimxx0(a222sin2sin(b222ba2ax(x)222b

x)

9、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。

(i)若f(x)在xx0处连续，则(ii)若f[(x)]是复合函数，又f(u)在ua处连续，则xx0xx0limf(x)f(x0)xx0lim(x)a且xx0

limf((x))f[lim(x)]f(a)例：求下列函数的极限

(1)、limecosx51xln(1x)2xx0

（2）

f(x)ecosx5xln1(x)limx0x

解：由于x0属于初等函数故由函数的连续性定义limecosx51xln(1x)ln(1x)x12x1xln(1x)2的定义域之内。有：f(0)61x0

(2)、由ln(1x)x令x(1x)x故有：limln(1x)x11x0limln(1x)xln(lim(1x)x)lne1x0x010、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型）特别地有：

llimxkn1x1mlnk m、n、k、l 为正整数。

xm1例：求下列函数极限 ① lim11nmxxx1(m、n N)②lim(2x3)

x1x2x1 解: ①令 t=原式=limt1mnx 则当x1 时 t1,于是

mn1t1tlim(1t)(1ttt(1t)(1ttt22x12)x12m1n1))t12mn

②由于lim(2x3)=lim(1x1x2x1x

令：2x11 则 x111

2ttlim(x2x32x1)x1=lim(1x22x11t)x1=lim(1t)t0111t2

=lim(1t)t0lim(1t)2e1e

t011、利用函数极限的存在性定理

定理: 设在x的某空心邻域内恒有 g(x)≤f(x)≤0h(x)且有: limxx0g(x)limh(x)A

xx0 则极限 lim

xx0f(x)

存在, 且有

xx0limf(x)A

xanx例: 求 limx(a>1,n>0)解: 当 x≥1 时,存在唯一的正整数k,使 k ≤x≤k+1 于是当 n>0 时有:

xanx(k1)akakn

kank及

xanxnk11a

又 当x时,k 有 lim(k1)akaknklim(k1)akankk1nka0a0

及 lim nkk1 lim=0 k1a01a0

xlimxanx12、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。定理：函数极限lim左极限lim xx0xx0f(x)存在且等于A的充分必要条件是

A。即有：f(x)及右极限limf(x)都存在且都等于

xx0

limf(x)Alimx)=A xxxxf(x)=limf(00xx012ex,x0例：设f(x)=xx,0x1 求limf(x)及limf(x)xx0x1x2,x1解：limxf(x)lim(12e)1x0x0limx)limxx)limx1)1x0f(x0(xx0(由limx)limx)1x0f(x0f（limf(x)1

x0又limxxf(x)limlim（x1)0x1x1xx1 lim(x)lim21x1fxx1

由f(10)f(10)lim1f(x)不存在x13、罗比塔法则（适用于未定式极限）定理：若

(i)limxxf(x)0,limg(x)00xx0(ii)f与g在xu0(x'0的某空心邻域0)内可导，且g(x)0(iii)limf'(x)xxg'(x)A(A可为实数，也可为或），则

0limf(x)limf'(x)xx0g(x)xxg'(x)A0此定理是对00型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。

注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点：

1、要注意条件，也就是说，在没有化为0,时不可

0求导。

2、应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。

3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误。

4、当limf(x)g(x)''xa 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。

例： 求下列函数的极限 ①lime(12x)ln(1x)2x12x0 ②lime(12x)12x12lnxxax(a0,x0)

解：①令f(x)=

f(x)e(12x)'x, g(x)= ln(1x)

2, g“'(x)2x1x2

2f(x)e(12x)”x32,g(x)2(1x)(1x)'22

由于但f “f(0)f(0)0,g(0)g(0)0”'

(0)2,g(0)2

从而运用罗比塔法则两次后得到

lime(12x)ln(1x)2x12x0lime(12x)2x1x2x12x0lime(12x)2(1x)(1x)222x32x0221

② 由lim法则有： xlnx,limxxa 故此例属于型，由罗比塔1xlimlnxxalimxaxa1xlim1axax0(a0,x0)

14、利用泰勒公式

对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式：

1、ex1xx22!x3xnn!o(x)

n2、sinxx3!x2x55!x4(1)n1x2n1(2n1)!no(x2n)

3、cosx12!4!2(1)x2n(2n)!o(x2n1)

4、ln(1x)x

5、(1x)

6、11xx2(1)n1xnno(x)n

n!xo(x)nn1x2(1)2!xnn2(1)(n1)

 1xxxo(x)n

上述展开式中的符号o(x)都有:

nlimo(x)x0xn0

例:求lima2xaxx(a0)

x0解:利用泰勒公式，当x0 有

1x1x2o(x)

于是 lima2xax0x

x=a(12xlima1xa)0x

xa1(2x)o(x)11x=1lim2a2ao(x)0x

x(x)=ax(x)1lim2aoxlim2axox0x1

x02a15、利用拉格朗日中值定理 定理:若函数f满足如下条件：(I)f 在闭区间上连续(II)f 在(a ,b)内可导 则在(a ,b)内至少存在一点,使得f'()f(b)f(a)ba

此式变形可为: f(b)f(a)baf(a(ba))(01)'

例: 求 limxeexsinxx0xsinx

解:令f(x)e 对它应用中值定理得

eexsinxf(x)f(sinx)(xsinx)f(sinx(xsinx))(01)''即: eexsinxxsinx'f(sinx(xsinx))(01)

f(x)e'x连续

'limf(sinx(xsinx))f(0)1

x0从而有: limeexsinxx0xsinx116、求代数函数的极限方法(1)有理式的情况，即若: R(x)P(x)Q(x)a0xmna1xm1n1ambnb0xb1x(a00,b00)

(I)当x时，有

mnm1n1limP(x)Q(x)xlima0xa1xambnxb0xb1xa0 mnb00 mn mn

(II)当x0 时有:

①若Q(x②若Q(x③若Q(x0)0 则 lim0P(x)Q(x)x0P(x0)Q(x0)

P(x)Q(x))0 而 P(x0)0 则lim0

x0)0,P(x0)0,则分别考虑若x0)P1(x)s为P(x)0的s重根,即:P(x)(xx0 也为Q(x)0的r重根,即: Q(x)(xx0)Q1(x)r 可得结论如下：

0 , srsr(xx0)P1(x)P1(x0)P(x)limlim , sr xx0Q(x)xx0Q1(x)Q1(x0) ,sr例：求下列函数的极限

①lim(2x3)20(3x2)5030x(2x1)②limx3x2x4x343x1

解: ①分子，分母的最高次方相同，故

lim(2x3)20(3x2)5030x(2x1)3=

220350302330()2

②P(x)x43x2,P(1)0

Q(x)x4x3,Q(1)0

P(x),Q(x)必含有（x-1）之因子，即有1的重根 故有: limx3x2x4x343x1lim(x1)(x2)(x1)(x2x3)222x1limx2x2x32x112

(2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方法完全类同，这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。

例：求lim解: limxx(xxxxx)

(xxxxx)

limxxxxxxxx1x1x3xxlim

xxxx1limx11211x

二、多种方法的综合运用

上述介绍了求解极限的基本方法，然而，每一道题目并非只有一种方法。因此我们在解题中要注意各种方法的综合运用的技巧，使得计算大为简化。例:求 lim1cosxxsinx222x0

[解法一]: lim1cosxxsinx222x0

lim2xsinx2222x02xxcosx2xsinxsinx2

limsinx2222x0xcosxsinx

limx22x0cosxsinxx22=1

2注:此法采用罗比塔法则配合使用两个重要极限法。

[解法二]: lim1cosxxsinx222x0=lim2sin2x2x02lim22x0xsinxsinxx2221sinxx22sin2x22122x2

2注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要

极限法。

[解法三]: lim1cosxxsinx222x0lim1cosxxx222x0lim2xsinx4x32x02xsinxlim2x04xx212

注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换

法以及罗比塔法则

[解法四]:

(x)lim1cosxxsinx222x022lim1cosxx42x0x22sinxlimx024xx22sinx12

注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。

[解法五]: 1cosxxsinx2222sinlimx02x2limx02lim2lim242222x0x(x)x0xsinxx2(x2)21x412

注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法。

[解法六]： 令ux 2lim1cosxxsinx222x0limcosu1cosuusinuu0lim12sinusinuucosuu0

limu0cosucosuusinu注：此解法利用变量代换法配合使用罗比塔法则。

[解法七]: lim1cosxxsinx222x0limsinx2222x0xcosxsinxlim11x22x012

tgx注:此解法利用了罗比塔法则配合使用两个重要极限。

(作者: 黄文羊)