考研数学易混淆概念分析之高等数学(三)_高等数学容易混淆概念

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2012考研数学易混淆概念分析之高等数学

（三）万学海文

考研数学当中的高等数学有很多容易混淆的概念知识点，万学海文数学考研辅导专家们根据多年的辅导经验，在此将为2012年的广大考生们罗列出这些容易混淆知识点以供大家参考复习。

下面，我们讲解的是利用洛必达法则求极限的相关问题。

1、导函数之比的极限值不存在时，不能使用洛必达法则． 例

1、求极限lim2xcosx3xsinx2sinx3cosxx，由于该极限不存在，所以原极限lim2xcosx3xsinx解：原式()lim存在．

不xx此题显然不对，我们可以得到该题目的极限为

23．为什么会这样呢？难道洛必达法则出问题了？显然不是，洛必达法则只能说出导数之比的极限值存在或无穷大时，原极限的情况，而极限不存在时，原函数的极限可能存在也可能不存在．

2、求数列极限时不能直接利用洛必达法则．

1例

2、求极限limn(en1)

n 解：利用洛必达法则求解

1limne(nn1)e1limn1nnnen1lnimlimen1n2n2111 ．此题的结果是正确的，但是计算过程是错误的．因为数列中变量n是自然数，它是一系列离散的点，不是连续变量，所以没有导数，不能直接利用洛必达法则求极限．但对于特殊的数列极限和正确的求解方法是，先求出的数列极限．

11x00limf(x)的极限，根据函数极限的性质可得相应

型，可以间接的使用洛必达法则求极限．

正确的解法：因为，xlimx(ex1)lim(e1)1xxlimx1x21exx1x1x2limex1 1所以，数列limn(en1)=1 n例

3、求数列极限lim(1n1n1x1n2)n

x解：先求函数极限lim(1x1x2)取对数后的极限为：

2x1xlimxln(11x1x1n2)limln(1xx)lnx1x1x1x222xlim1xxx12x22xlimx2xxx122x1,所以，lim(1n1n2)nlim(1x)xe.3、求解含有抽象函数的极限，使用洛必达法则时一定要注意题设条件． 例

4、设f(x)在点x处具有二阶导数，求极限

limf(xh)2f(x)f(xh)h2．

h0错误解答：

(1)用洛必达法则

limf(xh)2f(x)f(xh)h2h0limf'(xh)2f'(x)f'(xh)2hh0

1f'x(h)flim[2h0hx'()fx'(f)xh'(h]2)1f[x''(f)x''()]0

（2）利用洛必达法则

limf(xh)2f(x)f(xh)h2h0limf'(xh)f'(xh)2hh0limf''(xh)f''(xh)

h0f''(x)上述两种做法都是错误的．（1）式的错误在于，利用洛必达法则求极限时，自变量是h，故分子分母均应是分别对变量h求导数，这时，2f(x)的导数是0，而（1）式中却想当然的把导数错误的求为2f'(x)，所以结果是错的．

（2）式的错误在于，第二次使用洛必达法则时，没有考虑题设条件：f(x)在点x处具有二阶导数．只是可导，我们并不知道在x的一个邻域内是否二阶可导，所以不满足洛必达法则的条件．同样第三步计算也是错误的，因为题设并没有告诉我们二阶导数在x处连续，故limf''(xh)f''(xh)2h0f''(x)f''(x)2是没有根据的．所以，万学海文提醒考生们一定要小心使用洛必达法则求极限．

正确解答：lim12f(xh)2f(x)f(xh)hf'(xh)f'(x)2h0limf'(xh)f'(xh)2hh0

[limh0hlimf'(xh)f'(x)hh0]f''(x)

先是利用洛必达法则，再利用导数定义求解． 当然也有其它的方法求解：

f(xh)f(x)f(x)hf(xh)f(x)f(x)hf(x)2!f(x)2!ho(h),22ho(h)．所以limf(xh)2f(x)f(xh)h2h0lim22f(x)ho(h)h0h2f(x)

例

5、设gx,x0，且已知g(0)g(0)0，g(0)3，试求f(0).fxx0,x0f(x)f(0)x0f(0)limx0

解

因为

问题两则：

g(x)2xg(x)x2,所以由洛必达法则得

g(x)2x1

limx0(0)g(x)g13limg(0).2x0x022(1)上例解法中，已知条件g(0)0用在何处?(2)如果用两次洛必达法则，得到

f(0)limg(x)2xx0limg(x)2x012g(0)32.错在何处? 小结 万学海文在此为2012年考生们列出用洛必达法则应注意的事项: ①运用洛必达法则时,一定要注意条件.当x时,极限中含有sinx,cosx； 或当x0时,极限式中含有sin1x,cos1x时,不能用法则.②只要满足洛必达法则的条件,洛必达法则可一直用下去； ③每用完一次法则，要将式子整理化简；

④为简化运算经常将法则与等价无穷小结合使用；

⑤用变量代换使求导运算简单，从而使洛必达法则更有效.