高等数学等价替换公式_高等数学等价替换

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无穷小 极限的简单计算

【教学目的】

1、理解无穷小与无穷大的概念；

2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；

3、不同类型的未定式的不同解法。【教学内容】

1、无穷小与无穷大；

2、无穷小的比较；

3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；

4、求极限的方法。【重点难点】

重点是掌握无穷小的性质与比较

用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。

【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。

【授课内容】

一、无穷小与无穷大

1.定义

前面我们研究了n数列xn的极限、x（x、x）函数fx的极限、xx0（xx0、xx0）函数f(x)的极限这七种趋近方式。下面我们用

x＊表示上述七种的某一种趋近方式，即

＊nxxxxx0xx0xx0

定义：当在给定的x＊下，f(x)以零为极限，则称f(x)是x＊下的无穷小，即limfx0。

x＊例如, limsinx0, 函数sinx是当x0时的无穷小.x0lim110, 函数是当x时的无穷小.xxx(1)n(1)nlim0, 数列{}是当n时的无穷小.nnn【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。

定义： 当在给定的x＊下，fx无限增大，则称fx是x＊下的无

都是无穷大量，穷大，即limfx。显然，n时，n、n2、n3、x＊【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如

limex0，limex，xx所以ex当x时为无穷小，当x 时为无穷大。

2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果fx为无穷大，则11为无穷小；反之，如果fx为无穷小，且fx0，则为无穷大。fxfx小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。

3.无穷小与函数极限的关系: 定理1 limf(x)=A?f(x)x®x0xA+(x),其中(x)是自变量在同一变化过程xx0（或x）中的无穷小.证：（必要性）设limf(x)=A,令(x)=f(x)-A,则有lim(x)=0,x®x0x®x0f(x)A(x).（充分性）设f(x)=A+(x),其中(x)是当x®x0时的无穷小，则

xx0limf(x)=lim(A+(x))Alim(x)A.xx0xx0【意义】

（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）给出了函数f(x)在x0附近的近似表达式f(x)»A,误差为(x).3.无穷小的运算性质

定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.但n个之和为1不是无穷小.例如,n时,是无穷小，nn定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：lim(1)n1110，limxsin0，limsinx0 nx0xxnx推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较

例如，当x®0时,x,x2,sinx,x2sinx2lim0,x2比3x要快得多;x03xsinx1,sinx与x大致相同;

x0x1x2sinxlimsin1不存在.不可比.limx0x0xx2极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.lim1都是无穷小，观察各极限： x1．定义: 设,是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且¹0.=0,就说是比高阶的无穷小,记作=o();(2)如果limC(C0),就说与是同阶的无穷小;

特殊地如果lim=1,则称与是等价的无穷小，记作~;

(3)如果limk=C(C?0,k0),就说是的k阶的无穷小.(1)如果lim例1 证明:当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小.tanx34xtan3x4lim()4,故当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小证：lim.4x0x0xx例2 当x0时,求tanxsinx关于x的阶数.解limx0tanxsinxtanx1cosx1lim(),tanxsinx为x的三阶无穷小.x0x3xx222．常用等价无穷小:当x0时,（1）sinx～x；（2）arcsinx～x；（3）tanx～x；（4）arctanx～x；（5）ln(1x)～x；（6）ex1～x

x2（7）1cosx～（8）(1x)1～x（9）ax-1～lna*x

2用等价无穷小可给出函数的近似表达式: lim1,lim0,即o(),于是有o().1例如sinxxo(x),cosx1x2o(x2).23．等价无穷小替换 定理：设~,~且lim证：lim存在,则limlim.lim()limlimlimlim.2tan22xex1.；

（2）lim例3（1）求lim x01cosxx0cosx112(2x)2解:（1）当x0时,1cosx~x,tan2x~2x.故原极限=lim= 8

x®012x22x2（2）原极限=limx0x22=1

2例4 求limx0tanxsinx.sin32x错解: 当x0时,tanx~x,sinx~x.原式limxx=0

x0(2x)313x, 2正解: 当x0时,sin2x~2x,tanxsinxtanx(1cosx)~13x12.故原极限=limx®0(2x)316【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。

tan5xcosx1.例5 求limx0sin3x1解: tanx5xo(x),sin3x3xo(x),1cosxx2o(x2).24

12o(x)1o(x2)25x+o(x)+x+o(x)5x2x2x5.原式=limlimx®0x0o(x)3x+o(x)33x

三、极限的简单计算

1.代入法：直接将xx0的x0代入所求极限的函数中去，若fx0存在，2x53x42x12；若fx0不存在，我们也能知道属即为其极限，例如limx193x32x4x29于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如，lim就代不进去了，但

x3x3我们看出了这是一个

0型未定式，我们可以用以下的方法来求解。02.分解因式，消去零因子法

x29limx36。例如，limx3x3x33.分子（分母）有理化法 例如，limx2x2532x15limx2x2532x12x15

52x15x53x2532x2 lim

x22x4

limx2x2 x22x21x1x

22 又如，limxx21xlimx0

4.化无穷大为无穷小法

1-3x2+x-7x例如，lim2=limx2x-x+4x12-+x这个无穷大量。由此不难得出

3+7x2=3，实际上就是分子分母同时除以x242x25

a0，nmba0xma1xm1am0lim0，nm xbxnbxn1b01n，nm

1xx21limx又如，limx1x（分子分母同除x）。1，21x212n5n5n5lim1再如，limn，（分子分母同除）。nn35nn315n5.利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限

xarctanx10，例如，lim（无穷小量乘以有界量）。x3x2x14x1.又如，求lim2x1x2x3解：lim(x22x3)0,商的法则不能用

x1x22x30又lim(4x1)30,lim0.x1x134x14x1.x1x22x3再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。由无穷小与无穷大的关系,得lim6.利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5）7.分段函数、复合函数求极限

1x,x0例如，设f(x)2,求limf(x).x0x1,x0解: x0是函数的分段点,两个单侧极限为

x0limf(x)lim(1x)1,limf(x)lim(x21)1, x0x0x0左右极限存在且相等, 故limf(x)1.x0【启发与讨论】 思考题1：当x?0时,y11sin是无界变量吗？是无穷大吗？ xx6

解：(1)取x012k2(k0,1,2,3,)

21(2)取x02ky(x0)2k, 当k充分大时,y(x0)M.无界，(k0,1,2,3,)

当k充分大时,xk, 但y(xk)2ksin2k 0M.不是无穷大． 结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.思考题2：若f(x)0，且limf(x)A，问：能否保证有A0的结论？试举例

x说明.解：不能保证.例f(x)lim1 x0, xf(x)10 limf(x)

xx1A0.xx思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？

1sinx解：不能．例如当x时f(x),g(x)都是无穷小量

xx但lim较.xg(x)limsinx不存在且不为无穷大，故当x时f(x)和g(x)不能比f(x)x【课堂练习】求下列函数的极限

excosx（1）lim；

x0xexcosxex11cosxlimlim1 解：原极限=limx0x0x0xxx7

1x（2）求limx0(1cosx)ln(1x)3sinxx2cos0【分析】 “”型，拆项。

011223sinxxcos3sinxxcos3x=limx= 解：原极限=limx02x2x2x02x5x54x43x2（3）lim ；

5x2x4x1【分析】“抓大头法”，用于

型 543355x55xx解：原极限=lim=，或原极限=lim5= x41222x2x45xx（4）lim(x2xx)；

x【分析】分子有理化 解：原极限=limxx2xxx=limx1=

11x121x21)（5）lim(2x2x4x2【分析】型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。

x13x2x2x21lim)=lim解：lim(2== 2x2x2x4x2x24x2x4（6）limx0x2x932

【分析】“子。0”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因0解：原极限=limx0x2x293x2=6（7）求lim(n12n).222nnn8

解:

n时,是无穷小之先变形再求极限.和1n(n1)12n12n1112lim(222)limlim(1).lim2nnnnnnnn22n2n【内容小结】

一、无穷小（大）的概念

无穷小与无穷大是相对于过程而言的.1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:(1)

无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；

（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大.二、无穷小的比较: 1.反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较。高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶。

2.等价无穷小的替换:

求极限的又一种方法, 注意适用条件.三、极限求法（不同类型的未定式的不同解法）;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.