《 数列和式不等式的放缩策略》读书笔记_数列不等式放缩技巧

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数学通讯（2008年第18期）

数列和式不等式的放缩策略

季强

（江苏省常州高级中学数学组，213003）

数列一直以来也是高考的重点，试卷的压轴题的最后一问出现，在思维能力和方法上要求很高，往往让人束手无策。其实，这类不等式的证明，是有章可循的？遵循什么章呢？

为此，我就收集了一些别人的方法，并把它们摘抄记录了下来。

这类不等式的证明就是要把和求出来，求出后再放缩。更多的情况下是不能直接求和的，这时就需要先把通项放大或缩小，使得每一项按照相同的规律放大或缩小后，把和求出来，求和后再放缩。下面简述几个用来证明数列和式不等式的一般性策略：

策略1：放缩等比求和

当可以直接利用等比数列求和时，求和后放缩。否则，先将通项放缩，从某一项开始放缩后，和式转化为等比数列的和，求和后再放缩。当然，以通项公式为着手点，观察分析，放大或缩小，从而每一项按照相同的规律放大或缩小，求和后再放缩，证得要证的不等式。

策略2：放缩裂相求和

有的数列和式不等式，不能直接求和时，可以先把数列的通项公式分裂成两项之差，求和后在放缩。当通项公式不能分裂成两项之差时，先把通项公式放缩后裂相（即分裂成两项之差），每一项都按照相同的规律放大或缩小后裂相，求和后在放缩。

策略3：单调性求和

有点数列和式不等式的证明，可以利用单调性放缩，当然，也可能是在和式的某一个环节，利用一个相关的数列或函数的单调性进行放缩。

策略4：奇偶相邻相捆绑求和放缩

当要证的和式是正负相间时，仅用通项an是不好放缩的，因为项数为奇数或偶数时，an的符号是变化的，此时可以把奇偶相邻相捆绑求和进行放缩。

策略5：延后放缩求和

和式放得太大或缩得过小，原因是每一项都放得太大或缩得过小，可以用延后放缩法：即不从第一个可以放缩的项开始放缩，而是保留前面若干项的准确值，减小放大的量或减小缩小的量。在不断的调节尝试后，从某一项开始放缩，就能证得要证的结果。

总之，数列和式不等式的证明，关键是要把和求出来。