一个有趣的数学问题_那些有趣的数学现象
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一个有趣的数学问题
外冈中学 郭雅华
一、问题：
0.9与1谁大谁小
二、解答
首先 我先明确一个基本常识，实数由有理数和无理数组成。无理数就是无限不循环小数。有理数包括整数、有限小数、无限循环小数。并且所有有理数都可以化为分数形式，举例2=241, 0.8= , 0.3333(循环)=153
问题：0.9与1的大小比较
解法1：
0.9=0.3+0.6
1212并且0.3等于，0.6等于.+=1.3333
所以0.9=1.解法2：
设A=0.9 那么10A=9.9 两式相减得出：9A=9 所以A=1.所以0.9=1.补充说明：任何一个无限循环小数都可以化为分数形式
0.1循环=1/9
0.2循环=2/9
0.3循环=3/9
……
0.8循环=8/9
那么0.9循环=9/9=1
同样说明了0.9=1
三、解答说明：
其实以上的证法都是不严谨的，以下简单说明如下：
首先 我们要明确一个无穷的概念 无穷大是永远无可企及无可到达的地方
我们可以得出0.9=0.3+0.6
即验证一次9=3+6
0.99=0.33+0.66即验证一次9=3+6
0.9999（k个9）=0.3333…3+0.666…6（k个3与6）验证k次9=3+6
0.9999（任意数量的9）=0.3333+0.666（任意数量的3与6）
但是我们不能得出0.9=0.3+0.6 原因很简单，因为我们无法一位一位的去验证。因为我们只能重复任意多次9=3+6 而无法重复无穷次9=3+6！虽然对于每一个小数位都是9=3+6！但是数学讲究严谨，不能有任何漏洞！所以这解法1是不严谨的，同理解法2也是不严谨的因为我们无法得出9.90.9 = 9.
四、问题的其他解法及说明
解法3：对于一个数列{an}0.9
0.99 0.999….0.9
我们可以得出来一个通项0.9=(11n)10
0.9即当n趋向于无穷时 an的值
当n趋向于无穷时Lim an=1！注意是等号而不是约等于
所以0.9=1
说明：这里用到了当n趋向无穷时lim（解法4：
假设1大于0.9成立 那么必然存在一个数a 使得0.9
0.9 1必然大于0.9
0.9 2必然大于0.9 1
…
0.9 8必然大于0.9 7
0.9 9必然大于0.9 8！
即0.9 9必然大于0.9 1
但是0.9 9就是0.9啊！按照第一条 它又小于0.9 1
结论矛盾，推出循环号后面不会存在任何数字，所以不存在一个数a 使得0.9
所以0.91
解法5：
假设1大于0.9成立 那么必有一个数a 令a=1-0.9, a不存在,所以假设不成立.说明：同解法4的说明
五、问题推广及解答
问题：
长跑健将追不过乌龟？古希腊的思想家芝诺曾经提出过这么一个问题： 古希腊最著名的长跑健将阿基里斯和一只乌龟赛跑，起跑的时候乌龟在阿基里斯前方100米的地方.而当阿基里斯跑过这100米的距离的时候,乌龟利用阿基里斯跑这100米的时间向前爬了一段距离,阿基里斯又跑过这段距离的时候,乌龟又已经向前爬了一段距离……所以阿基里斯永远不可能追上乌龟？
解答：
此问题与0.9循环是否等于1思想一样，说明如下。
首先，我们把问题简单化，假设是两个质点A和B，B在A前方4米，0时刻，B以1米/秒的速度向前，A以2米/秒的速度向前追A。
这其实是个小学算术题，追击问题，就是Vb t+4=Va t，解得t=4秒。
而按照芝诺的想法，A先向前走了4米，用了4/2=2秒，达到B先前的位置，而B用这2秒又向前走了一段距离就是4/2*1=2米，A再走这2米，用了1秒，B用这1秒的时间又走了2/2*1=1米，A再走这一米，用了1/2秒，这时候B已经走了1/2米……这似乎没完了，为什么一个实际的问题分两种方法想结论是不一样的呢？
我们把A追B的时间加起来，2+1+1/2+1/4+1/8……= 无限接近4，而不能大于4，而我们用常规方法解出来的t就是4秒！
所以芝诺的想法是无限接近4秒之前发生的事，而时间不会停止，一定会过完这4秒而进入第5秒，这时候A就追上了B到了B的前面。
芝诺把阿基里斯和乌龟放到了一个时间系统中，这个系统从0开始只会无限的接近4秒而不能到4秒，而现实的时间系统中，时间是一直在走的，所以我认为他这个想法是不符合实际的。所以长跑健将怎么会追不过乌龟呢？
六、结束语
这个有趣的数学问题终于得到了解释，也就是在当今数学体系理论中 0.9循环=1。而通过这次课程学习以及这次作业，让我对我所未知的数学世界更加憧憬，让我学会了要以更加严谨和认真的态度去探索这个神秘而令人神往的世界。
