全国高中理科试验班招生物理试题归类分析_实验班招生物理试卷

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全国高中理科试验班招生物理试题归类分析

教育部举办的全国高中理科试验班每年从各省市初中数学、物理竞赛成绩优异者挑选学生．入学考试题灵活，内涵深，难度也较大．考试题由全国四所著名高校的附中所命，但物理考试题每年均未给出具体解答．在解答历年考试题的过程中，笔者认为对历年考试题作适当地归类和分析，这对增强物理学科的教学研究，引导学生的思维开放，培养和发掘学生分析和解决问题的潜在素质，以及对教师指导学生的竞赛培训，对有志参加理科班选拔的学生均有裨益．

本文拟从考题中所涉及的等效、对称、极值、隔离与整体、定义与基本概念等内容进行归类与分析．



一、等效概念的应用

此类题的题型往往较新颖，解法也较灵活．

例1（2000年第一试第33题）一对火线和零线从一堵正方形墙上走过，墙的正中央开了一扇正方形木窗（如图1）．火线在A处和零线在B处发生漏电，如果测得流过下边墙上的电流约200ｍＡ，那么总的漏电电流约为________________ｍＡ．

例2（1998年第一试第19题）正方形薄片电阻片如图2所示接在电路中，电路中电流为I；若在该电阻片正中挖去一小正方形，挖去的正方形边长为原电阻片边长的三分之一，然后将带有正方形小孔的电阻片接在同一电源上，保持电阻片两端电压不变，电路中的电流Ｉ′变为________________．

分析两题所给出电路的情景结构有新意，若能用等效电阻概念进行分析，问题的解答将变得容易．

对于例1，漏电电流的大小是由A、B间的漏电电阻决定的，其电阻值可看做是自A经窗户上沿的墙至B的漏电电阻Ｒ上与自A经窗户的左墙到下墙，再经右墙至B处的漏电电阻Ｒ下的并联值，即 

Ｒ漏＝（Ｒ上·Ｒ下／Ｒ上＋Ｒ下）＝（Ｒ·3Ｒ／Ｒ＋3Ｒ）＝（3／4）Ｒ． 由分流公式Ｉ下＝（Ｒ上／Ｒ上＋Ｒ下）Ｉ总＝（Ｉ总／4），得总漏电电流为 

Ｉ总＝800ｍＡ．

对于例2，由于薄片两边嵌金属片，将正方形薄片的电阻可等效为图3所示．设每小块的电阻为R，则薄片总电阻是3个3R电阻的并联值，其值也是R．现从中挖出一块，此时薄片等效电阻如图4所示．显然其阻值是（7Ｒ／6），故Ｉ′＝Ｕ／（7Ｒ／6）＝（6／7）Ｉ．

图3

图4 下面用等效概念再分析一道灵活性较强的试题．

例3（1995年第二试第7题）三个相同的金属圆环两两正交地连接成如图5所示形状．若每个四分之一圆周金属丝电阻为R时，测得A、B间电阻为ＲＡＢ．今将A、B间一段金属丝改换成另一个电阻为Ｒ／2的一段四分之一圆周的金属丝，并在A、B间加上恒定电压U，试求消耗的总功率?

分析用常规的混联电路计算模式去解答，显然不易凑效．由等效电阻的概念，可设去掉A、B间一段四分之一圆周的金属丝后剩余部分电阻为Ｒｘ，则ＲＡＢ可等效为Ｒｘ与R的并联值．即 

ＲＡＢ＝Ｒ·Ｒｘ（／Ｒ＋Ｒｘ），Ｒｘ＝ＲＲＡＢ／（Ｒ－ＲＡＢ）．

现将Ｒ′＝（Ｒ／2）电阻丝并在A、B端，从A、B端看进去，此时电阻为 

Ｒ总＝ＲｘＲ′／（Ｒｘ＋Ｒ′）＝ＲＲＡＢ／（Ｒ＋ＲＡＢ），电流所消耗的功率为



Ｐ＝（Ｕ／Ｒ总）＝Ｕ（Ｒ＋ＲＡＢ）／（Ｒ·ＲＡＢ）．

其实2000年也有过这样类似的考题．有些问题粗看不易求解，若改变一下思考问题的角度，借助等效类比，答案有时信手即来．我们再分析一道较难、较复杂的考题．

例4（1996年第二试第19题）某电路有8个节点，每两个节点之间都连有一个阻值为2Ω的电阻，在此电路的任意两个节点之间加上10Ｖ电压，求电路各支路的电流及电流所消耗的总功率．（要求画出电路图）

分析电路有8个节点且每两个节点间又以相同阻值的电阻相互连接，故电路中的支路多，电路显得复杂．所以该题的第一个考点是画出电路图．据题意可知对每个节点，它们与外电路连接的结构方式相同，若把这8个节点等分放置在具有轴对称的圆周上，然后把圆上的每一分点依次同其余7个分点相连，得电路结构图如图6（ａ）所示． ２

２

图6 由题意知电源是加在任意两节点间，设电源加在点A、B即图6（ａ）中的1、2两点间．这时余下的6个节点与A、B端连接的结构方式完全相同，故此6个节点对电源两端的电势相等，我们知道等电势点间无电流流通，这样可把等电势点间相接的2Ω电阻都去掉，最后可得等效电路如图6（ｂ）所示． 因为

1／ＲＡＢ＝1／Ｒ１２＋（1／2Ｒ）×6＝（4／Ｒ）． 则

ＲＡＢ＝0．5Ω．

流经Ｒ１２的电流为（ＵＡＢ／Ｒ１２）＝5ａ，流经其余6个节点电流均为（ＵＡＢ／2Ｒ）＝2．5ａ． 电路消耗总功率为



Ｐ＝（Ｕ／ＲＡＢ）＝200Ｗ．

尽管支路密如网状，但借轴对称圆可方便画出电路结构图；注意电路的对称性和等电势可得到简单的等效电路图，问题的最后解决也就不复杂了． 

二、对称性概念的应用

对称性分析在电路中有重要应用，在光学考题，特别是关于镜面成像，更要注意它的应用． 例5（1997年第二试第15题）如图7（ａ）所示，两面竖直放置的平面镜互成直角，一只没有数字的钟为3点整，在A处的人向O点看（）２

图7 ａ．看见九点的钟； Ｂ．看见三点的钟；

Ｃ．能看见钟，但指针位置不正常； Ｄ．根本看不见钟．

例6（1996年第二试第3题）一光学系统如图8（ａ）所示，A为物平面，垂直光轴，L为凸透镜，M为与光轴成45°角的平面镜．像平面P垂直于经平面镜反射后的轴．图8（b）为同一光学系统的实物图．设物为A面上的一个“上”字，在像平面P上能得到物体的清晰像，试在图8（b）中的像平面P上画出像的形状．

图8 分析例5是平面镜成像，规律是物、像左右对称；例6先是凸透镜成像，其规律是像是绕光轴旋转180°的倒立实像．

对于例5题，如图7（b）所示，Ｓ１是钟表Ｓ关于镜M１所成的像，像是9点整的钟表；现Ｓ１处在Ｍ２镜前，所以Ｓ１在Ｍ２镜后还要继续成像为Ｓ２，在A处的人向O点看，看到的是3点整的钟表． 对于例6题，如图8（c）所示，假设无平面反射镜M，像平面应放在Ｐ′处，像平面Ｐ′上的像相对物恰好以光轴旋转180°．现在像方空间增加平面镜，光轴被弯折90°成像在P平面，依对称性Ｐ′上的假想像与P上实际像应关于镜面M对称（把Ｐ′与P平面上的像逆着光轴推移到M处，两像应完全重合），最后的成像如图8（c）像平面P上像的形状．

用作图来处理例6题，显然是不方便的，注意成像的对称性原则，思路就十分清晰和明朗． 例7（1994年第二试第4题）平面镜M、N互成φ角放在水平桌面上，它们均与桌面垂直．如图9所示，放在两镜面前的点光源S（图中未标出），随着它位置的变化，既可能在M、N两镜中共成3个像，也可能在两镜中仅成2个像．求：

图9（1）M、N之间夹角φ至少多大? （2）在图中画出并标明仅能成2个像和仅可成3个像的区域，说明仅可成2个像区域的形状及范围． 分析由例5题分析可知：若处在两镜间光点对一镜所成的像点是处在另一镜的前面，则该像点对另一镜还可继续成像，直至最后的像点落在两镜的镜面之后，成像才终止．考虑到对称性，对两镜以其交点O为圆心作一圆周，如图10所示．若两镜的夹角φ恰为120°，光点S又恰在角平分线上，S对M镜的像点Ｎ′恰落在N镜的反向延长线上；S对N镜的像点Ｍ′恰落在M镜的反向延长线上．这种情况S对两镜只能成两个像；若光点不在角平分线上，而是在其它区域，则可成3个像．如图10所示，Ｓ１是光点Ｓ关于M镜所成的像，Ｓ２是光点S关于N镜所成的像，Ｓ３是像点Ｓ２关于M镜所成的像．

图10 若两镜的夹角φ大于120°，光点S对M镜成像的像点如果恰落在N镜的反向延长线上的Ｎ′点，则光点S应放在图11中的Ｎ″点处．类似前面分析知：当光点处于∠ＭＯＮ″的区域以内时，它可在两镜面成3个像，同理光点处于∠ＮＯＭ″的区域以内时也成3个像．当光点在∠Ｎ″ＯＭ″区域内时只能成两个像．如图11所示，当光点S放在Ⅰ、Ⅲ区域对两镜成3个像；放在Ⅱ区域时成2个像．

图11 在图11中，∠Ｎ′ＯＭ＝180°－φ＝∠ＭＯＮ″＝∠ＮＯＭ″＝θ，故区域Ⅱ的范围为 

∠Ｍ″ＯＮ″＝180°－3θ＝3φ－360°． 

三、极值概念的应用

如何运用数学原理处理物理极值问题，这是考题每年都会涉及的问题．将其类型可归纳为：二次函数的极值型；用一元二次方程根的判别式而求解的极值型；求解矢量三角形最短边的极值型；由三角函数而求解的极值型，1．用二次函数求解的极值型

例8（1997年第二试第二部分第3题）如图12所示，电路中电源电压为9Ｖ，Ｒ０＝0．2Ω，Ｒ１＝2Ω，Ｒ２＝3Ω，总电阻Ｒ′＝5Ω．当滑动触头P由a端滑向b端时，电流表的变化范围是多少?

图12 解设ＲＰａ＝Ｒｘ，则ＲPb＝Ｒ′－Ｒｘ，对电源而言，电路总电阻为



Ｒ总＝Ｒ０＋（Ｒ１＋Ｒｘ）（Ｒ２＋Ｒ′－Ｒｘ）／（Ｒ１＋Ｒ２＋Ｒ′），代入数值，得



Ｒ总＝－0．1Ｒｘ＋0．6Ｒｘ＋1．8．

由二次函数极值条件（y=ax＋bx+c,当x=-（ｂ／2ａ）时，y极值＝（4ac-b）／4a，即 

Ｒｘ=－0．6／（2×（－0．1））Ω＝3Ω，有Ｒ总极大＝（4×（－0．1）×1．8－0．6／4×（－0．1））Ω＝2．7Ω，电流有极小值Ｉ极小＝（Ｕ／Ｒ总极大）＝3．3ａ． 当P滑至a端，Ｒｘ=0，此时Ｒ总有最小值1．8Ω，故 

Ｉ最大＝（Ｕ／Ｒ总最小）＝5ａ．

Ｐ滑至b端时，有Ｒｘ＝5Ω，Ｒ总＝2．3ａ，Ｉ＝3．9ａ．

P在整个滑动过程中，电流表示数由5ａ减小到3．3ａ，然后又增至3．9ａ，其变化范围为3．3～5ａ．

1994年第二试第5题和1997年第一试第10题都是此类型极值题． 2．用一元二次方程根的判别式求解的极值型

例9（1997年第一试第一部分第4题）如图13所示装置，O为杠杆OA的支点，在离O点L0处挂着一个质量为M的物体．每单位长度杠杆的质量为m，当杠杆的长度为________时，可以用最小的力F维持杠杆平衡．

２２

２２

图13 解设杆长为L，由力矩平衡方程，得

我们再分析一道这种类型的电学题．

例10（2000年第二试第4题）在如图14所示的分压电路中，电压U恒定不变，滑动变阻器的总阻值Ｒ＝100Ω．要求滑动触头P在上下移动的过程中，负载ＲＬ上电压ＵＬ始终不低于空载（即不接ＲＬ）时输出电压的90%，那么ＲＬ的最小值应是________Ω．

图14 解设P滑至某一位置时，滑动变阻器R的下端电阻为Ｒｘ，则其上端电阻为100－Ｒｘ，若ＵＬ能满足要求，应有

为保证Ｒｘ在实数范围有解，其根判别式满足Δ≥0，即

Δ＝90－36ＲＬ≥0，得

ＲＬ≥225Ω，取最小值为

ＲＬ＝225Ω．

1998年第一试的第40题也是这种类型题． 3．求解矢量三角形中最短边的极值问题

在相对运动、追击一类问题的考题中，常涉及如何利用矢量的边角关系求解最短边的极值问题．例２11（1996年第一试第三部分第21题）如图15（a）所示，某人站在离公路垂直距离为60ｍ的A处，发现公路上有一辆汽车由B点以10ｍ／ｓ的速度沿公路匀速前进，B点与人相距100m，那么此人至少以______________速度奔跑，才能与汽车相遇．

图15

分析车对地速度大小、方向确定，人对车的速度其方向确定（人始终是追随汽车而奔跑），而大小可变．由相对运动速度公式：

ｖ人对地＝ｖ人对车＋ｖ车对地，画速度矢量三角形，如图15（b）所示．由图中看出，从人与车的相遇点Ｄ′向人对车的速度方向所引线段长度Ｄ′Ａ′（即ｖ人对地的速度大小），仅当Ｄ′Ａ′⊥Ａ′Ｂ′时，值最小．结合图15（a）、（b）所示，由△ＡＢＤ∽△Ｄ′Ｂ′Ａ′，得 ｖ人对地／ｖ车对地＝ＡＤ／ＡＢ＝60／100． 即

ｖ人对地＝6ｍ／ｓ．

1996年第一试第一部分第4题是讨论船与水相对运动问题，其本质也是这种类型极值问题． 参考文献

1聂映中．全国三年制高中理科班招生统一考试物理试题及解答．物理教学，1999（10）2聂映中．1994年全国理科试验班招生统一考试（物理）．中学物理，2001（2）

3聂映中．1997年全国三年制高中理科试验班招生统一考试物理试题．中学物理，2001（5）4聂映中等．1997年全国三年制高中理科班招生统一考试物理试卷参考解答．中学物理，2001（6）5聂映中等．第四届（1996年）全国三年制高中理科班招生统一考试试卷参考解答．中学物理，2001（11）