几何画板迭代详解之：函数迭代_几何画板迭代详解

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几何画板迭代详解之：函数迭代

佛山市南海区石门中学 谢辅炬

【多项式f(x)ax4bx3cx2dxe求根】 【分析】多项式求根的迭代式是xn1xn【步骤】

1.新建参数a=-0.1,b=-0.1,c=1,d=2,e=-1，n＝5。2.新建函数f(x)ax4bx3cx2dxe，画出它的图像。3.在图像上任取一点A，度量A的横坐标xA。4.计算xAf(xA)f(xA)；计算f(xA)。

f(xA)f(xA)f(xA)f(xA)，f(xA【图表】【绘制点】。得到点B。)单击

f(xA)f(xA)f(xn)。f(xn)5.依次选择xA6.度量B的横坐标xB。

7.选中点A，和参数n，按住Shift键，单击【变换】菜单【深度迭代】，弹出迭代对话框，单击点B。结果如图1所示。

图 1

图 2

8.选择迭代像，单击【变换】菜单【终点】，得到迭代的终点C，度量C点的横坐标xC。9.观察表格可知，显示方程的一个近似根是0.42。

10.拖动A点，改变它的位置。观察表格可知道方程的另外一个近似根是3.41。如图2所示。

【MIRA】

【步骤】

1.在平面上取一点A，度量A的横坐标xA和纵坐标

yA。

2.新建参数a＝0.4，b=0，99875。（b取得尽量接近1）

(1a)x23.新建函数f(x)ax。

1x24.计算f(xA)＋byA,f(f(xA)＋byA)-xA。注意这里用的是函数嵌

yA,f(f(xA)＋byA)-xA，B点的颜色套。顺次选择这两个结果，单击【图表】【绘制（x，y）】。得到点B。5.顺次选择点B和三个计算结果：f(xA)＋bxA。单击菜单【显示】【颜色】【参数】，单击确定。发现变了，其实B点已经隐藏起来，看到的是同一位置上的另外一个点B’。6.新建参数n＝1500，选择A点和参数n作深度迭代。AB'

【Henon Map（埃农映射）】

【步骤】

1.在平面上取一点A，度量A的横坐标xA和纵坐标2.新建参数a=1.2,b=0.4 3.计算(1axA2)yA,byA。顺次选择这两个计算结果，点击【图表】【绘制(x,y)】，得到点B。

4.选择点B，并依次选择(1axA2)yA,byA和xA，单击菜单【显示】【颜色】【参数】，出现颜色参数对话框，单击确定。得到点B’。5.新建参数n＝1500,选择点A和参数n，作深度迭代，AB'。

因为M集和朱丽亚集其实是复数平面迭代，我们先来复习一下复平面的一些知识。

若 Zk= xk+ iyk ,  = p+iq

yA。

ZK2(xk2yk2)(2xkyk)i,ZK2(xkykp)(q2xkyk)i 则 xk＋1＝xk2－yk2 ＋p，yk＋1＝2xkyk ＋q，聪明的你应该知道怎么表示复平面上的点的平方了吧。

好了，那么什么是Julia集和Mandelbrot集合，他们之间的区别是什么呢？ 考虑 Zk+1=Zk2+，给定复数初值Z0,，得到无穷复数序列{Zk} Julia集：固定，J ={Z0序列{Zk}有界} Mandelbrot集：固定Z0，MZ＝{ 序列{Zk}有界} 【 Mandelbrot 集合 】

【步骤】

1.在平面上以原点为中心，建立一个矩形ABCD作为观察区域。2.在线段AD上取一点E，点击【编辑】【操作类按钮】【动画】，使得E点能够在AD上运动。

3.作E点关于Y轴的对称点E ’,然后连接EE ’。在EE ’上取一点G，度量xG,yG。

4.在平面上取一点F，度量 xF,yF。计算xFyF+xG和2xFyFyG，顺次选择这两个度量结果，单击【图表】【绘制（x ,y）】。得到点H。5.新建参数n＝100，选择点F和参数n，作深度迭代，FH。6.选择迭代像，单击【变换】【终点】，得到迭代终点I。度量I的横、纵坐标，并计算xI,yI,22xI，单yI，选择这三个结果和点G（注意是点G）击【显示】【颜色】【参数】，得到G’。

7.选中G’，单击【作图】【轨迹】。隐藏线段EE’,选择刚才的轨迹，按右键，单击‘追踪轨迹’。

8.把F点移至原点。点击动画按钮，则可以得到M集，适当调整窗口大小。

【Julia Sets朱丽亚集】

【步骤】

1.在平面上以原点为中心，建立一个矩形ABCD作为观察区域。2.在线段AD上取一点E，点击【编辑】【操作类按钮】【动画】，使得E点能够在AD上运动。

3.作E点关于Y轴的对称点E ’,然后连接EE ’。在EE ’上取一点G，度量xG,yG。

4.在平面上取一点F，度量 xF,yF。计算xFyF+xG和2xFyFyG，顺次选择这两个度量结果，单击【图表】【绘制（x ,y）】。得到点H。5.新建参数n＝100，选择点F和参数n，作深度迭代，FH。6.选择迭代像，单击【变换】【终点】，得到迭代终点I。度量I的横、纵坐标，并计算xI,yI,22xI，单击yI，选择这三个结果和点F（注意是点F）【显示】【颜色】【参数】，得到F’。

7.选中F’，单击【作图】【轨迹】。隐藏线段EE’,选择刚才的轨迹，按右键追踪轨迹。

8.点击动画按钮，则可以得到Julia集，调整窗口大小。

【牛顿迭代法】

【步骤】

9.在平面上以原点为中心，建立一个矩形ABCD作为观察区域。10.在线段AD上取一点E，点击【编辑】【操作类按钮】【动画】，使得E点能够在AD上运动。

11.作E点关于Y轴的对称点E ’,然后连接EE ’。在EE ’上取一点G，度量xG,yG。

2xBxB2yB212.在平面上取一点F，度量 xF,yF。计算，33(xB2yB2)22yB2xByB【绘制33(xB2yB2)2顺次选择这两个度量结果，单击【图表】（x ,y）】。得到点H。

13.新建参数n＝100，选择点F和参数n，作深度迭代，FH。14.选择迭代像，单击【变换】【终点】，得到迭代终点I。度量I的横、纵坐标，并计算xI,yI,xI，单yI，选择这三个结果和点G（注意是点G）击【显示】【颜色】【参数】，得到G’。

15.选中G’，单击【作图】【轨迹】。隐藏线段EE’,选择刚才的轨迹，按右键追踪轨迹。

把F点移至原点。点击动画按钮，则可以得到M集，调整窗口大小