(no.1)高中数学教学论文 用不动点法求数列的通项_高中数学数列不动点法

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用不动点法求数列的通项

定义：方程f(x)x的根称为函数f(x)的不动点.利用递推数列f(x)的不动点，可将某些递推关系anf(an1)所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.定理1：若f(x)axb(a0,a1),p是f(x)的不动点，an满足递推关系anf(an1),(n1)，则anpa(an1p)，即{anp}是公比为a的等比数列.证明：因为 p是f(x)的不动点

apbp

bpap由anaan1b得anpaan1bpa(an1p)

所以{anp}是公比为a的等比数列.定理2：设f(x)axb(c0,adbc0)，{an}满足递推关系anf(an1),n1，初cxd值条件a1f(a1)

（1）：若f(x)有两个相异的不动点p,q，则

anpapapc（这里k）kn1aqcanqan1q（2）：若f(x)只有唯一不动点p，则

2c11）k（这里kadanpan1p证明：由f(x)x得f(x)axbx，所以cx2(da)xb0

cxdpdbp2apccp(da)pb0（1）因为p,q是不动点，所以2，所以 cq(da)qb0qqdbaqcaan1bpdbpan1anpcan1d(apc)an1bpdapcapcapcan1pqdbaqcan1qanqaan1b(aqc)an1bqdaqcan1qaqccan1d令kapapapc，则n kn1aqcanqan1q用心 爱心 专心

n1用心 爱心 专心

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百度提升自我由此解得a)2n1(22)2n1n2(22(22)2n1(22)2n1

其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题: 42例4：已知a10,a11且aan6an1n14a2n(an1),求数列{an}的通项.解: 作函数为f(x)x46x214x(x21),解方程f(x)x得f(x)的不动点为 x11,x21,x333i,x343i.取p1,q1,作如下代换: a42n6an1a21432n114an(an1)an4an6an4an1n1a42n11an6an1a432(an4an6an4an1a)4 n14a21n(an1)(a4n1逐次迭代后,得:a11)(an111)4n(a(a4n1

11)4n111)

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