数学解题能力展示中年级组决赛试题详解_数学解题能力展示
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2007年“数学解题能力展示”读者评选活动中年级组决赛试题解析
1．计算：379×0.038+159×0.00621+3.79×0.121=________。一级提示：直接计算肯定有困难，所以必然有巧妙的办法。
二级提示：本题考查的是同学们巧算的意识和积不变性质的应用。题目分析：答案为1.59。
379×0.038+159×0.130621+3.79×0.121 =3.79×0.088+159×0.00621+3.79×0.121 =3.79×(0.038+0.121)+0.159×6.21 =3.79×0.159+0.159×6.21 =0.159×(3.79+6.21)=0.159×10 =1.59
2．用7个长4厘米，宽3厘米的长方形拼成一个大长方形，在所有可能的拼法中。大长方形周长的最小值是________厘米。
一级提示：共有哪几种不同的拼法？
二级提示：怎样拼才能使大长方形周长最短？ 题目分析：答案为38。
要使所摆的大长方形的周长最小，应使7个小长方形有尽可能多的边重合。只有如下的3种摆法：
图1的周长为(3×7+4)×2=50厘米；
图2的周长为(4×7+3)×2=62厘米；
图3的周长为(3×4+4+3)×2=38厘米。
显然，在所有的拼法中，大长方形周长的最小值是38厘米。
3．有22个装乒乓球的盒子。如果不管怎么装都至少有4个盒子里的乒乓球数相同(不装算0个)，那么装球最多的盒子中装________个乒乓球。
一级提示：这道题目使用了什么原理？ 二级提示：怎样使得装球最多的盒子 题目分析：答案为6。
这是一道抽屉原理问题。应从最不利的情况入手。根据“不管怎么装都至少有4个盒子里的乒乓球数相同”，考虑特殊情况：盒子里的乒乓球数尽量不相同，并尽量使球数相同盒子的数目都达到3个。
设每个盒子最多装x个乒乓球，则每个盒子中放的球数有O，l，2，„，x共x+1种，要使至少有4个盒子中的乒乓球数相同，则22=3(x+1)+1，解得x=6。
4．取一张狭长的纸条，扭转半圈并把两端接在一起。形成如图所示的“缪比乌斯带”(缪比乌斯是一位著名的数学家)。请问：如果沿着这条带子的正中央剪开带子，纸带会变成什么样子呢？答________。(提示填：两个分开的细纸环；两个细纸环，一个套住另一个；一个更大的细纸环或一条更长的纸条)
一级提示：可以从纸环的一个地方出发，走一圈，看看能够走到哪里。
二级提示：最好的办法其实还是剪一张纸，实际操作操作看。
题目分析：答案为一个更大的细纸环。
这是一道著名问题。动手操作容易得出答案。得到的将是一个更大的细纸环。
数学上流传着这样一个故事：有人曾提出，先用一张长方形的纸条，首尾相粘，做成一个纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。你想想，应该怎样粘这个纸圈？
如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个面，势必要涂完一个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈儿呢？
对于这样一个看来十分简单的问题，数百年间，曾有许多科学家进行了认真研究，结果都没有成功。
后来，德国数学家缪比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心思索、试验，也毫无结果。
有一天，他被这个问题弄得头昏脑涨了，便到野外去散步。新鲜的空气，清凉的风，使他顿时感到轻松舒适，但他头脑里仍然只有那个尚未找到的圈儿。
一片片肥大的玉米叶子，在他眼里变成了“绿色的纸条儿”，他不由自主地蹲下去，摆弄着、观察着。
叶子弯取着耸拉下来，有许多扭成半圆形的，他随便撕下一片，顺着叶子自然扭的方向对接成一个圆圈儿，他惊喜地发现，这“绿色的圆圈儿”就是他梦寐以求的那种圈圈!缪比乌斯回到办公室，裁出纸条，把纸的一端扭转180，再将两端粘在一起，这样就做成了只有一个面的纸圈儿。
圆圈做成后，缪比乌斯捉了一只小甲虫，放在上面让它爬。结果，小甲虫不翻越任何边界就爬遍了圆圈儿的所有部分。缪比乌斯圈激动地说：“公正的小甲虫，你无可辩驳地证明了这个圈儿只有一个面。”
上面说的游戏，只有把白纸条粘成“缪比乌斯圈”，才能按要求完成。
做几个简单的实验，就会发现“缪比乌斯圈”有许多让我们惊奇有趣的结果。
如果在裁好的一张纸条正中间画一条线，粘成“缪比乌斯圈”，再沿线剪开，把这个圈一分为二，照理应得到两个圈儿，奇怪的是，剪开后竟是一个大圈儿。
如果在纸条上划两条线，把纸条三等分，再粘成“缪比乌斯圈”，用剪刀沿画线剪开，剪刀绕两个圈竟然又回到原出发点，猜一猜，剪开后的结果是什么，是一个大圈？还是三个圈儿？都不是。它究竟是什么呢？你自己动手做这个实验就知道了。
数学中有一个重要分支叫“拓扑学”，主要是研究几何图形连续改变形状时的一些特征和规律的，“缪比乌斯圈”变成了拓扑学中最有趣的问题之一。
5．A、B、C、D、E五人坐在一起聊天。小明想知道这五个人的年龄和。可五人都没有直接回答。E说：“A、B、C、D四个人的年龄和为101岁。”D说：“B、C、E三个人的年龄和为105岁。“C说：“A、B、D、E四个人的年龄和为115岁。”B说：“A、D、E三个人的年龄为和80岁。“A说：“A、C、D三个人的年龄和为66岁。”请问：五人的年龄和是________岁。
一级提示：这类问题比较基本的方法是列方程。
二级提示：分别求出五个人的年龄，也许是一种可行的方法。不过题目问的是五人的年龄和，是否有更简单的办法？
题目分析：答案为143。
这是一道应用题，考察的是同学们整体观察的能力。
将5人说的话列成下表：
A B C D E 年龄和 1 1 1 1 1011 1 105 1 1 1 1 115 11 80 1 1 1 66 从整体看问题：A共用4次，B共用3次，C共用3次，D共用4次，E共用3次。所以，将B、C、E再补上一次，A、B、C、D、E就各用4次。所以五人的年龄和是(101+105×2+115+80+66)÷4=143。
6．期末达标中，如果甲的语文成绩或数学成绩至少有一科比乙的成绩高，则称甲不亚于乙。在一个有35人的班中。如果某同学不亚于其余34名同学，就称他(她)为优秀学生。那么，这35人中的优秀学生最多可能有________名。
一级提示：极端性原理的题目应当考虑极端情况。
二级提示：怎样分配才能使优秀学生最多？
题目分析：答案为35。
要使优秀学生最多，可将每名学生的长处与其他同学的短处相比较。
取35人为这样一种特殊情况：他们中语文成绩与数学成绩都互不相等，并且语文成绩最高者数学成绩最低，语文成绩次高者数学成绩次低，„，这样一来，语文成绩最好的学生(语文优于其它34人)自然是优秀学生，语文成绩第二的学生(优于其他33人)数学是倒数第二(优于1人)，他也是优秀学生。同理可说明35人可都是优秀学生。
7．27个同样大小的小正方体的各面上分别写着1到27，用这27个小正方体拼成如图所示的大正方体。请根据如图所显示的数据以及下面所给出的条件：
①数9、13和16在同一条直线上；
②数22在9和6之间；
③17紧挨着5和13，但与9不相邻；
④14紧挨着24和27；
⑤数20在14的上面。
推断，从六个方向都看不见的小正方体面上所写的数是________。
一级提示：哪些小正方体位置特殊，应该作为突破口？ 二级提示：既然题目这样出，说明答案是唯一的。题目分析：答案为5。
这是一道逻辑推理问题。我们可以从上之下逐层展开去分析。
首先数9、13和16在同一条直线上；可知C、G代表13和9；
再由数22在9和6之间；可知G、H代表22和9；所以G代表9，C代表13，H代表22。由14紧挨着24和27，可知E代表14。再由数20在14的上面，可知A代表20。
最后由17紧挨着5和13，但与9不相邻，可知D代表17，E代表14，F代表23，B代表5。所以从六个方向都看不见的小正方体面上所写的数是5。
8．在下面的算式中，a，b，c分别代表0—9中的三个不同的数字，那么，数字b是________。abccbaacbba
一级提示：哪些数字是可以首先确定的？
二级提示：列出乘法算式，也许有些事情可以一目了然。题目分析：答案为0。
这是一道数字谜问题。考察同学们的推理能力。首先列成竖式：
从cbaa，及乘积为acbba来看，c=1，所以cbac1ba11ba。
从竖式的十位上看，1ba×b的个位数字是0。
(1)当b≠0时，从十位看，1ba×b的个位数字必是0，只能是a=5，b是偶数或b=5。a为偶数。
①若a=5，b是偶数。从1b5×5=5口口及乘积51bb5看，b
②若b=5，a为偶数。从算式的千位看，由于15a×5>700，由于不能进位，所以7加几也不能等于l。所以是无解的。
(2)当b=0时，从百位看，1ba×a的个位数字必是9，十位数字必是O，那么a=3。此时abc=301。
9．小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图1，从上面看如图2，那么这个几何体至少用了________块木块。
一级提示：每个位置应该有几层？
二级提示：哪些位置是没有必要放木块的？
题目分析：答案为23。
这道题很多同学认为答案是26块。这是受思维定势的影响，认为图2中每一格都要至少放一块。其实，有些格不放，看起来也是这样的。
如图，带阴影的3块不放时，小正方体块数最少，为23块。
10．如图，有A、B、C、D四块大小一样的正方形纸片，放在一个大正方形纸盒中。它们之间互相叠合。已知露在外面的部分中，A的面积为144平方厘米，B的面积是96平方厘米，D的面积是84平方厘米。那么C露出部分的面积是________平方厘米。
一级提示：各部分的长度和面积之间有什么样的关系？
二级提示：如果直接观察困难，可以划分为若干部分。
题目分析：答案为46.25。
这是一道计算面积的几何问题。
首先向左移动正方形B，使它有两边与大正方形的边重合，如下图1所示。
此时正方形B与正方形D露出部分的面积相等，均为(96+84)÷2=90平方厘米。
由于正方形A与正方形B等长，正方形C与正方形D等长，所以图1中正方形D露出的面积为90÷(144÷90)=56.25平方厘米。再计算图2中正方形B中E这部分。H部分的面积是90—84=6平方厘米，E、F两部分的面积和是90，故G、H两部分的面积和是144—90=54平方厘米。
E部分的面积是90÷[54÷6]=10平方厘米。
故c露出部分的面积为56.25-1O=46.25平方厘米。
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