矩阵的特征值性质学年论文_矩阵特征值的论文

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矩阵特征值的性质与计算方法

学院数学科学学院专业信息与计算科学姓名王小雪学号20081464指导老师冯立新

一、背景与意义：

由于矩阵特征值在物理学，经济学的领域的广泛应用，关于矩阵特征值尤其是矩阵最大特征值的性质及其计算方法的研究引起了人们的关注，随着计算机的发展，各种关于矩阵特征值的计算方法应运而生，而关于矩阵特征值范围的估计及其算法在数学上也取得了，一定的成果，为了方便叙述一同引进特征向量的概念一同阐述矩阵特征值范围的估计，性质及其算法。

二、内容：

在有限维线性空间V中，取定一个基12n后线性变换f与矩阵A之

间存在着一一对应关系，即可用矩阵来表示线性变换，也就是说，对于每一个给定的线性变换，适当选择的一个基，使得该线性变换在此基下的矩阵最为简单.因此特征值，特征向量的引入对利用矩阵研究线性变换具有基本重要性.首先了解特征值和特征向量的概念.（1）定义：设A是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果对于数域P一

数0存在一个非零向量，使得A0，那么0称为A的一个特征值，而

称为A的属于特征值0的一个特征向量.（2）特征值相关的性质：1、任一n阶方阵A必有n个复的特征值.2、若是A的关于特征值0的特征向量，则对任意非零常数k，k也是A的关于0的特征向量.3、A与它的转置矩阵AT有相同的特征值.4、设A是线性空间V上的可逆变换，则①A的特征值一定不为0； ②1为A的逆矩阵A1的特征值.5、n阶实对称矩阵A有n个实的特征值.6、属于不同的特征值的特征向量是线性无关的.7、属于同一个特征值的特征向量不一定线性相关.8、A可逆，1,2n

111为A的全部特征值，则①11,为 全部A2n

111*

特征值。②A1,A2An为A的全部特征值

9、设A为一nn降秩复矩阵，则A的伴随矩阵A*的n个特征值至少有n1个为0.若它存在非零的特征值，则必为A11A22Ann



mz）10、则k,m分别为kA,Am的特征值（k为常数，为A的一个特征值，11、若ACnn,则A2的特征值是A的特征值的平方（要计重数）.12、设A，B，AB均为n级实对称阵，是AB的一个特征值，则存在A的一个特征值s，B的一个特征值t，使得st.n13、n阶矩阵所有特征值之和为矩阵的迹即itrA

i114、n阶矩阵特征值之积为矩阵行列式之值即12nA（3）矩阵特征值的估计

1、Gerschgorin第一圆盘定理：设AaijCnn，则A的特征值落在复平面的n个圆盘



Kiv|vaij



a2、、、、n的并集上。ij i

1、j1,ji

n2、Gerschgorin第二圆盘定理：设Gerschgorin第一圆盘定理中的m 个圆盘形成一联通域，它与其余的nm个圆盘都不相交，则在此连通域中恰好有A的m个特征值。

（4）特征值的计算方法：1、根据定义求一些简单矩阵的特征值2

ykAzk1

、幂法迭代格式：mkmaxyk

zkyk/m

k

k1,2、、、其中z0为任一初始向

量，maxyk为向量yk的按模最大分量，这样迭代向量zk的按模最大分量为1。

3、反幂法：把幂法应用于A1便得列计算A的按最小模特征值n及其特征

ykAzk1kmkmaxy zkyk/m

k

向量vn的反幂法迭代格式 初始向量

k1,2、、、 其中z0为任一