第三章对偶问题与敏感性分析_第三章对偶理论作业

2020-02-28 其他范文下载本文

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第三章对偶问题与敏感性分析

（一）原问题与对偶问题的关系

例：原问题 max 360x1+200x2+300x3 s.t.9x1+4x2+3x3≤7 4x1+5x2+10x3≤12 x1,x2,x3≥0 对偶问题 min 7y1+12y2

s.t.9y1+4y2≥360 4y1+5y2≥200 3y1+10y2≥300 y1,y2≥0 1.对偶问题总结的结论： 1）原问题求极大（小），对偶问题求极小。

2）原问题目标函数的系数变成对偶问题的约束方程的右边项。对偶问题目标函数的系数是原问题的约束方程的右边项。

3)原问题的变量个数，约束方程的个数，分别等于对偶问题的约束方程的个数和变量的个数。

4)原问题的约束系数矩阵与对偶问题的约束系数矩阵存在转置关系。

注：原问题的约束方程取等号，其对偶问题的对偶变量的取号没有限制要求。原问题的决策变量的取值没有限制性要求，对偶问题的约束方程取等号。

2.使用单纯形表求解min型问题，在进行检验时和max型相反。当所有检验数≥0时为最优。

3.CBB-1一方面是对偶问题的最优解，另一方面还表示原规划中个资源分别增加一个单位时总利润增加多少。

（二）线性规划对偶问题的几个基本性质或定理

1）对称性：对偶问题的对偶便是原问题。

2）弱对偶性：原问题的目标函数值以对偶问题的目标函数值为上界，对偶问题的目标函数值以原问题的目标函数值为下界。3）无界性：原问题为无界解，则对偶问题无可行解。

该命题的逆命题不成立。4）强对偶性：若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解。且对偶问题与原问题的目标函数值相等。

注：对偶问题的最优解为原问题的最优单纯形表中相应的松弛变量的检验数的相反数。5）最优解性质定理：X*,Y*分别是原问题与对偶问题的可行解，若有CX*=bY*存在，则X*,Y*分别是原问题与对偶问题的最优解。（即Z=Z’）**6）互补松弛定理：X,Y分别是原问题与对偶问题的可行解，若Y*XS= X*YS=0，当且仅当X*,Y*为最优解。XS，YS分别为原问题和对偶问题的松弛变量和剩余变量。

（三）对偶解的经济解释

1.对偶解与影子价格

对偶解（影子价格 CBB-1）的经济含义：资源的单位改变量对目标函数值的影响。影子价格是一种虚拟价格，通过影子价格，可以对系统内部的利用情况进行评价。

2.影子价格的特征：

1）最优性：影子价格是对系统内部资源利用情况的一种最优估计。只有到达最优状态时，才可能赋予资源这种价值。

2）动态性：影子价格的取值与系统的价值取向有密切的关系，并受系统状态变化的影响。

3）边际性：影子价格是一种边际价值。

4）评价性：影子价格能客观反映资源在系统内部的稀缺程度，影子价格越高，表明资源在系统中越稀缺。

3.利用影子价格改善经营策略：

1）影子价格＞市场价格，有获利能力，应购买； 2）影子价格＜市场价格，无获利能力，应卖出；

3）影子价格=市场价格，该资源在系统内部处于平衡状态。

4.检验数与边际贡献