向量范数迭代收敛性_向量范数连续性的证明

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第六章 方程求根的迭代法

一、教学目标及基本要求

通过对本章的学习，使学生掌握方程求根的数值解法。

二、教学内容及学时分配

本章主要介绍方程求根的迭代法。具体内容如下：迭代收敛性与迭代加速、牛顿法、弦截法。

三、教学重点难点

1．教学重点：迭代收敛性与迭代加速、牛顿法。2.教学难点：迭代的收敛性。

四、教学中应注意的问题

多媒体课堂教学为主。适当提问，加深学生对概念的理解 向量范数、迭代收敛性

§6.1向量和矩阵的范数

1、向量的范数

223Txxx...xx(x,x,...x)12n12n对向量，其长度记作2，借助长度可刻画向量的收敛性。

(k)T*Tx(x,x,...x)x(x,x,...x)12n12n向量序列，(k)(k)(k)***则klimx(k)x*的充要条件是klimx(k)x*0

除长度外，还有哪些反映收敛性的度量？

x(x1,x2,...xn)T，其范数记为x，是一个实数，满足： 1）对任意向量x，x0，当且仅当x0时

x0；

2）对任意实数及任意向量x，xx； 3）任意向量x,y，xyxy（三角不等式）。

按上述定义，存在多种范数，常用范数有：

x2(xi)1/22i1n1）2范数：

2）1范数：3）范数：x1xii1n

pxmaxxi1inx上述都是P范数特例：

(xi)1/ppi1n

limxpxx定理1 对任意向量：p。

证：P163

不同方式规定的范数，其值一般不同，但在各种范数下考虑向量系列的收敛性时，所有范数都是一致的，向量范数具有等价性。

范数等价性：xpc1xq,xqc2xp，称

xp,xq等价。

(k)1x范数等价性保证应用具体范数分析收敛性的合法性。对向量序列敛到x的充分必要条件是：对于给定的P，有：

k*收limx(k)x*p02、矩阵的范数

Ax/x(x0)的上确界称作矩阵A的范数，记为对n阶方阵A，将AmaxAx/xx0A，即：

由定义知AxAx矩阵范数具有如下性质：

1）A0，当且仅当A0时

A0 2）对任意实数和任意方阵A，有：3）

AA

ABAB,ABABx)x

x

1xAmaxAx/xmaxA(由于义为： x0x0，而，故矩阵范数亦可等价定AmaxAxx1

矩阵范数和向量范数密切相关，相应于向量的范数，记

n1inApmaxAxxp1p。

定理2 对n阶方阵A(aij)mn，有：Amaxaij，A1maxaij，j11jni1n分别称为矩阵的行范数和列范数。

§6.3迭代过程的收敛性

1、迭代收敛的充分条件

定理3 对给定方阵G，若G1，则矩阵I-G为非奇异。（反证法）定理4 方程组Axb，迭代公式x(k1)Gx(k)d，若G1，则迭代公式对于任意初值x(0)均收敛。证：P1662、对角占优方程组

对角占优：矩阵A的主对角元素的绝对值大于同行其他元素绝对值之和，即

aj1jinijaii，i1,2,...,n

定理5 若A为对角占优阵，则它是非奇异的。

证：P166 定理6 若线性方程组Ax=b的系数矩阵A为对角占优矩阵，则雅克比和高斯--赛德尔迭代法收敛。

证：P167 使Cond(pAQ)Cond(A)

小结：这节课我们主要学习了矩阵范数的相关基本理论。要求大家掌握几个常用范数的计算，掌握常用条件数的计算。

作业：1-4