多元向量值函数积分自测题_多元向量值函数

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1、填空题

1）设L为取正向的圆周x2y29则曲线积分22xy2ydxx4xdy L

18。

x2）设曲线积分fxesinydxfxcosydy与积分路径无关，其中fx一阶L

连续可导，且f00，则fx

3）1x1xee。22y

2zdydzxz2dzdxyx2dxdy0,其中为单位球面

x2y2z21的外侧。

x224）设Aesinyi2xyzjxzyk，则divA1,0,10，rotA1,0,1

1,0,e。

2、计算下列曲线积分

1）

Lx2y2x2xydy，其中L为椭圆221，由点Aa,0经点C0,b到点ab2

Ba,0的弧段。

解：L的参数方程为xacost，t从0到。ybsint



原式

032sin3t222costacost2absintcostbcostdtabsint32ab3 0

42ab

32）x2ydxx2y2dyxyzdz，其中L是xyz11与zxy1 L2222

2的交线，其方向与z轴正方向呈右手系。

xxy2解：L一般方程可化为，其参数方程为y，从0到2



z3z322

原式

2

021cos44sin2cos2dd 02

sin4

sin 2803、计算下列曲面积分

1）z，其中是上半球面的上侧。yzdzdx2dxdy

2

解：化为第一型曲面积分计算

zx,zy



取定侧对应法向量n，1 

nxy，n22

y2z原式

dS 2x2y24 x2y242ydxdy220d2rr3sin2dr 0

22

044sin2d2062cos2d12

zy2

2）xdydzydzdxzdxdy，其中是曲线x0的上侧。

解：此曲面方程为zxy22z1绕z轴旋转所得旋转面z1，化为第一型曲面积分计算

zx2x,zy2y

取定侧对应法向量n2x,2y,1 

n,n

原式2, 22

x2y21xy2dxdy

2

0dr3dr0124、设曲线积分xy2dxyxdy与路径无关，其中x连续可导，且00，求L



解：1,10,0xy2dxyxdy。PQ2xyyxx2xxx2C yx

由00可得C0，即xx

21,10,0xy2dxyxdy1,1

0,0xy2dxyx2dyydy011 2



5、求向量A2xiyjzk通过0x1,0y1,0z1的边界曲面流向外侧的通

量。

解：2xdydzydzdxzdxdy211dv

2



6、求向量场Axyicosxyjcosxzk在点,1,1处的散度。2

解：divAyxsinxyxsinxz

div1 ,1,12