二次函数最值问题的研究_二次函数中的最值问题

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二次函数最值问题的研究

（内江师范学院 内江 641100）

摘要：最值问题是中学数学的重要内容之一，中学数学最值问题遍及代数、三角函数、立体几何及解析几何各部分之一，最值问题为载体，利用数形结合的思想，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想考查二次函数的最值问题，利用二次函数的图像和性质进行研究最值问题，遍及初高中数学代数和几何部分的几乎所有，利用数与形进行分类和分轴以及参数问题讨论出最值问题的变化，同时利用数学等优秀的数学思想，将观察、类比、实验、归纳、一般化、抽象化等方法解决生活中遇到的最值问题。

关键字：数学 最值 数形结合 图像

1、前言

数学是一种古老而又年轻得文化，人类从蛮荒时代的结绳计数，到如今用电子计算机指挥宇宙航行，无时无刻不在受到数形结合和空中二次函数的思想的恩惠和影响，进入21世纪，我国数学课程中有关数学学习的理念时刻在发生变化，数学教学的主要目的和任务早已经不是简单的知识和方法的传授，而是通过数学学习在传授知识分方法的同时培养学生的数学能力，咋促进学生数学学习的过程中，加强数与行的结合，能化简为繁，对于帮助学生开阔思路，突破思维定势有积极地作用，能加深学生对知识的理解和掌握，学习二次函数的知识不仅是高中教材的内容，而且更是解决生活的实际问题有很大的帮助，但是二次函数包括的知识点不仅多，难度比较大之外，更重要的是具有可行性的量化和质变的本质区别，二次函数的最值问题作为研究二次函数的图像和性质，以及二次函数的区间最值问题都是需要学生去总结和探讨的。

作为初中和高中教材中的主要函数知识点的部分，学习二次函数起到一个承上启下的作用，同时二次函数也是中考和高考命题的重点，如何让初高中学生对二次函数了解的更加深刻和透彻，本文利用和数形结合的思想对初高中二次函数做了更深入的研究和讨论，主要运用数形结合的思想和分类讨论的思想以及根据二次函数的性质，从不同的角度进行分析二次函数的最值问题，利用二次函数的图像解决：定轴动区间、动轴动区间、动轴定区间的最值问题，以及根据开口方向、对称轴、所给区间确定；所给区间确定、对称轴位置变化；所给区间变化、对称轴位置确定；区间、对称轴位置都不确定，巧用二次函数的图像来进行讨论二次函数所遇到的最值问题，利用图像讨论含参数的问题，以及巧用二次函数图像讨论二次函数与一次函数交汇问题和运用数形结合求解问题误区的探讨这几个方面论述.2、国内外研究现状：

查阅相关文献，众多数学教育者和数学专家从不同角度和侧面探讨了二次函数的最值问题，同时结合教学、解题、以及函数的应用，王丰霞在文献[1]中浅谈了构造数形结合在二次函数中的培养创新思维，张冰、杨光在文献[2-3]中浅析二次函数最值问题的研究的概念以及培养学生数形结合的兴趣，孙雪梅、王雨来、朴林玉等文献[4-6]分析了二次函数的最值问题，周建涛、姚爱梅在文献[7]中二次函数在闭区间的最值问题的研究，陈晨在文献[8]闭区间上的二次函数的最值，张连友在文献[8]二次函数在最值求法例谈，陈林文在文献[9]巧解最值问题，黄小琴在文献[10]二次函数最值求法探索，张武在文献[11]中“数形结合”解题误区的认识与思考给出了自己独特的见解和分析，通过观看以上等教育工作者的研究和对二次函数最值问题的研究，让我受益匪浅，从他们的研究中看到了对二次函数最值问题的深入剖析。

2、国内外研究现状评价

在所查阅到的国内外参考文献中，教育者们对在二次函数中最值问题的研究，只是针对了二次函数的某一些问题或是某一些最值问题探究的比较清楚，其中关于二次函数的深层次或是大学知识的解决办法未能够涉及到里面去，相对高思想高研究高知识层面的探讨问题研究的不是很充分，其次对于二次函数利用思想方法和数形结合的思想方法的分析缺乏深入的研究和探讨，数形结合的思想在初高中二次函数中是比较重要的一个内容，对数形结合的思想在高中二次函数中的综合运用进行深入研究，使之形成完整的体系，对今后利用二次函数的图像和数形结合的思想去进行二次函数的教学、解题、以及二次函数最值问题的分析在初高考的应用具有重要的意义。

3、提出问题：

二次函数最值问题是结合初高考的代数和几何进行考试的内容，同时也是大部分学生遇到的问题最多的地方，所以探讨二次函数的最值问题的具有可行性的，同时也是对函数部分的知识进行深入的剖析，在具体探讨二次函数的最值问题的时候加入一些数学思想和数学方法以及高等数学的解题方法，根据定义域的问题和对称轴的问题进行深入分析和探讨是有必要的数学研究，4、结束语：

通过对国内外数学中二次函数的了解和研究以及专家和教育学者的文献的分析，二次函数是初高中数学的重点和难点，贯穿高中知识的始终，同时二次函数与其他知识的综合也是高考的重点和难点，是解决很多复杂的数学问题的一把利刃，利用二次函数的图像和性质进行研究最值问题，求解函数的最值是高考的重点以及难点，必须从根本上解决高中生面对最值问题所遇到的困难，很多文献都是有解法的缺乏思想，有教学的缺乏实践支撑,本文就是让学生将解题的技巧与求解函数的最值结合起来，让学生不再害怕最值问题，不再高考的大部分涉及函数最值的题目中失分。凡题有法而可解，高中生在做题的时候往往照抄书本模式，禁锢于思维定势，用解法解题便成了盲区，对于解法，教材中只提到了二次函数配方法求最值，利用函数的单调性、奇偶性求最值，这些方法可以应对一些简单的题目，如果题目加大难度，学生就束手无策，文章对函数最值问题的解法进行研究，目的就是为了扩大学生之视野，扩张学生之思维，以解学生学习最值问题的重点和难点。参考文献：

【1】 王丰霞，构造数形结合思想在二次函数中培养创新思维[J]，胜利油田专科学校学报，2001，（04）

【2】 张冰、杨光，浅析二次函数最值问题的研究的概念以及培养学生数形结合的兴趣，山西财经职业技术学院，2011，（7）

【3】 孙雪梅、王雨来、朴林玉，二次函数的最值问题[J]，2010,(11)：45-46 【4】 周建涛、姚爱梅，二次函数在闭区间的最值问题的研究[J],数学教学学报，2005，（12）：24-25 【5】 陈晨，闭区间上的二次函数的最值[J]，中学数学杂志，2004（12）【6】 张连友，二次函数在最值求法例谈[J]，黑河教育，2008（4）【7】 陈林文，巧解最值问题[J],时代教育，2007（7）

【8】 黄小琴，二次函数最值求法探索[M]，中学数学教育，2012（15）【9】 张武，“数形结合”解题误区的认识与思考[J],太原市教育学院，2004，（3）：59-62 【10】 朱永星，谈二次函数的学习[J]，高中数学教育学，2007，（11）：11-13 【11】 周建涛浅谈二次函数在高中阶段的应用[J]，数学教学通讯，2005，（12）：24-25 【12】二次函数在高中数学教学中的应用[J],内江师范学院学报，2008，（23）：58-59