泰勒公式_常用泰勒公式

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华东师范大学数学系编《数学分析》第三版上册教案

第六章 微分中值定理及其应用

黔西南民族师专数学系

§3 泰勒公式

教学章节：第六章 微分中值定理及其应用——§3 泰勒公式 教学目的：掌握Taylor公式，并能应用它解决一些有关的问题.教学要求：（1）深刻理解Taylor定理，掌握Taylor公式，熟悉两种不同余项的Taylor公式及其之间的差异；

（2）掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor展开公式，并能加以应用.（3）会用带Taylor型余项的Taylor公式进行近似计算并估计误差；会用代Peanlo余项的Taylor公式求某些函数的极限.教学重点：Taylor公式

教学难点：Taylor定理的证明及应用.教学方法：系统讲授法.教学程序：

引 言

不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数，这将会带来很大的方便.一般来说，最简单的是多项式，因为多项式是关于变量加、减、乘的运算，但是，怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？

上一节中，讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道，如果函数f在点x0可导，则有有限存在公式；

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)0(xx0)

即在x0附近，用一次多项式p1(x)f(x0)f(x0)(xx0)逼近函数f(x)时，其误差为0(xx0).然而，在很大场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为0(xx0)，其中n为多项式次数.为此，有如下的n次多项式：

pn(x)a0a1(xx0)an(xx0)n

易见：

(n)(x0)(x0)pnpnpn(x0)，a2，„，an（多项式的系数由其各阶导数在a0pn(x0)，a11!2!n!x0的取值唯一确定）.对于一般的函数，设它在x0点存在直到n阶导数，由这些导数构造一个n次多项式如下：

f(x0)f(n)(x0)Tn(x)f(x0)(xx0)(xx0)n

1!n!f(k)(x0)称为函数f在点x0处泰勒多项式，Tn(x)的各项函数，（k＝1,2,„,n）称为泰勒系数.k!问题 当用泰勒多项式逼近f(x)时，其误差为f(x)Tn(x)0((xx0)n)华东师范大学数学系编《数学分析》第三版上册教案

第六章 微分中值定理及其应用

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一、带有皮亚诺余项的泰勒公式

定理1 若函数f在点x0存在直至n阶导数，则有f(x)Tn(x)0((xx0)n)，即

f(x0)f(n)(x0)f(x)f(x0)(xx0)(xx0)n0((xx0)n)

1!n!即函数f在点x0处的泰勒公式；Rn(x)f(x)Tn(x)称为泰勒公式的余项.证明：设Rn(x)f(x)Tn(x), G(x)(xa)n.应用LHospital法则n1次, 并注意到f(n)(a)存在, 就有

(n1)Rn(x)Rn(x)f(n1)(x)f(n1)(a)f(n)(a)(xa)lim= lim(n1)limxaG(x)xaGxa(x)n(n1)2(xa)f(n1)(x)f(n1)(a)1(n) limf(a)0.xan!xa称Rn(x)(xa)n为Taylor公式的Peano型余项, 相应的Maclaurin公式的Peano型余项为Rn(x)(xn).并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Peano型余项的Taylor公式(或Maclaurin公式).注

1、若

nf(x)在点x0附近函数满足f(x)Pn(x)0((xx0))，其中pn(x)必定是f的泰勒多项式Tn(x).但pn(x)a0a1x(x)anxx(n，这并不意味着)00pn(x)并非f(x)的泰勒多项式Tn(x).（因为除f(0)0外，f在x＝0出不再存在其它等于一阶的导数.）；

n2、满足条件f(x)Pn(x)0((xx0))的n次逼近多项式pn(x)是唯一的.由此可知，当fn满足定理1的条件时，满足要求f(x)Pn(x)0((xx0))的多项式pn(x)一定是f在x0点的泰勒多项式Tn(x)；

3、泰勒公式x0＝0的特殊情形――麦克劳林（Maclauyin）公式：

f(0)f(n)(0)nf(x)f(0)xx0(xn)

1!n!引申：定理1给出了用泰勒多项式来代替函数y＝f(x)时余项大小的一种估计，但这种估计只告诉我们当xx0时，误差是较(xx0)n高阶的无穷小量，这是一种“定性”的说法，并未从“量”上加以描述；换言之，当点给定时，相应的误差到底有多大？这从带Peano余项的泰勒公式上看不出来.为此，我们有有必要余项作深入的讨论，以便得到一个易于计算或估计误差的形式.华东师范大学数学系编《数学分析》第三版上册教案

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二、带有Lagrange型余项的Taylor公式

定理2（泰勒）若函数f在[a,b]上存在直到n阶的连续导函数，在(a,b)内存在n＋1阶导函数，则对任意给定的x,x0[a,b]，至少存在一点(a,b)使得：

f(x0)f(n)(x0)f(n1)()nf(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)n1（1）

1!n!(n1)!f(n1)()(xx0)n1，记 证明：记R(x)f(x)T(x)，要证Rn(x)nn(n1)!Qn(x)(xx0)n1，不妨设x0x，则Rn(x),Qn(x)在[x0,b]上有直到n阶的连续导数，在(x0,b)内存在n1阶导数，又因为

Rn(x0)Rn(x0)Rn(n)(x0)0，Qn(x0)Qn(x0)Qn(n)(x0)0.故在区间[x0,x]上连续运用Cauchy中值定理n1次，就有

(x0)Rn(x)Rn(x)Rn(x0)Rn(1)Rn()Rn Qn(x)Qn(x)Qn(x0)Qn(1)Qn()Qn(x0)Rn(2)Rn(n)(n)Rn(n)(x0)Rn(n1)()(n)(n1)，(n)Q()Q(x)Q()Qn(2)nnn0n(n1)(n1)()，Qn(n1)()(n1)!，其中，x0nn11x，Rn()ff(n1)()(xx0)n1，（2）从而得到 Rn(x)(n1)!介于x0与x之间.注：（1）、当n＝0时，泰勒公式即为拉格朗日公式，所以泰勒定理可以看作拉格朗日定理向高阶导数方向的推广；

（2）、当x00时，则变为带拉格朗日型余项的麦克劳林公式

f(0)f(n)(0)nf(n1)(x)n1f(x)f(0)xxx (0,1)

1!n!(n1)!5 华东师范大学数学系编《数学分析》第三版上册教案

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称这种形式的余项Rn(x)为Lagrange型余项.并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Lagrange型余项的Taylor公式.Lagrange型余项还可写为 f(n1)(a(xa))Rn(x)(xa)n1, (0 , 1).(n1)!a0时, 称上述Taylor公式为Maclaurin公式, 此时余项常写为

Rn(x)1f(n1)(x)xn1, 01.(n1)!三 函数的Taylor公式(或Maclaurin公式)展开: 1.直接展开: 例1 求 f(x)ex的Maclaurin公式.xx2xnex解：e1xn1,(01).1!2!n!(n1)!x例2 求 f(x)sinx的Maclaurin公式.x3x5x2m1m1解： sinxx(1)R2m(x), 3!5!(2m1)!x2m11 R2m(x)sinx(m), 01.(2m1)!2例3 求函数f(x)ln(1x)的具Peano型余项的Maclaurin公式.解：f(n)(x)(1)n1(n1)!(n)n1, f(0)(1)(n1)!.n(1x)nx2x3n1x(1)(xn).ln(1x)x23n例4 把函数f(x)tgx展开成含x5项的具Peano型余项的Maclaurin公式.(教材P179 E5, 留为阅读.)2.间接展开: 利用已知的展开式, 施行代数运算或变量代换, 求新的展开式.例5 把函数f(x)sinx2展开成含x14项的具Peano型余项的Maclaurin公式.x3x5x7(x7), 解 sinxx3!5!7!华东师范大学数学系编《数学分析》第三版上册教案

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x6x10x14(x14).sinxx3!5!7!22例6 把函数f(x)cos2x展开成含x6项的具Peano型余项的Maclaurin公式.x2x4x6(x6), 解：cosx12!4!6!4x426x6(x6), 注意, (kx)(x), k0 cos2x12x3!6!2

12x425x62(x6). cosx(1cos2x)1x23!6!2例7 先把函数f(x)式,把函数g(x)解：f(n)1展开成具Peano型余项的Maclaurin公式.利用得到的展开1x1在点x02展开成具Peano型余项的Taylor公式.35x(1)nn!(n)n f(0)(1)n!.,n1(1x)f(x)1xx2x3(1)nxn(xn);g(x)11135x135(x2)131

5(x2)113=15525n2nnn1(x2)()(x2)(1)()(x2)+(x2).13131313例8 把函数shx展开成具Peano型余项的Maclaurin公式，并与sinx的相应展 开式进行比较.xx2xn(xn), 解： e11!2!n!xnxx2nx(1)(xn);e11!2!n!xexexx3x5x2m1x (x2m1). shx23!5!(2m1)!x3x5(1)m1x2m1而 sinxx(x2m1).3!5!(2m1)!

四、常见的Maclaurin公式华东师范大学数学系编《数学分析》第三版上册教案

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(1)带Penno余项的Maclaurin公式

xx21xxne2!n!0(xn)

sinxxx3x53!5!(1)x2m1m1(2m1)!0(x2m)

2x1x2x4mcos(1)mx0(x2m12!4!(2m)!)nln(1x)xx22x33(1)n1xn0(xn)(1x)1x(1)22!x(1)(n1)n!0(xn)

11x1xx2xn0(xn)2）带Lagrange型余项的Maclaurin公式

x2x1xxnexe1)!xn12!n!(n xR，(0,1)

sinxxx3x5m1x2m1cosx2m13!5!(1)(2m1)!(1)m(2m1)!x xR，(0,1)cosx1x2x42m(1)mx(2m)!(1)m1cosx2m22!4!(2m2)!x xR，(0,1)ln(1x)xx2x3n1xnxn1n23(1)n(1)(n1)(1x)n1 x1，(0,1)(1x)1x(1)n2!x2(1)(n1)n!x(1)(n)n!(1x)n1xn1 x1，(0,1)

1xn12n1x1xxx(1x)n2 x1，(0,1)

五、常见的Maclaurin公式的初步应用 1.证明e是无理数: 例9 证明e是无理数.证明：把ex展开成具Lagrange型余项的Maclaurin公式, 有

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111e e11, 01.2!3!n!(n1)!ep反设e是有理数, 即e(p和q为整数), 就有 n!e整数 +.n1qpep对nq, n!en!也是整数.于是, n!整数 = 整数―整数 = 整数.但由qn1q01,  0ee3, 因而当 n3时，en1不可能是整数.矛盾.2.计算函数的近似值: 例10 求e精确到0.000001的近似值.1112!13!1n!e解 e(n1)!, 01.注意到01,  0ee3, 有 R3n(1)(n1)!.为使3(n1)!0.000001, 只要取n9.现取n9, 即得数e的精确到0.000001的近似值为 e1112!13!19!2.718281.3.利用Taylor公式求极限: 原理: 例11 求极限 limaxax2x0x2,(a0).解：axexlna1xlnax222lna(x2), ax1xlnax222lna(x2);axax2x2ln2a(x2).华东师范大学数学系编《数学分析》第三版上册教案

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 limaxax2x0x2limx2ln2a(x2)x0x2ln2a.例12 求极限lim11x0x(xcotx).解：lim1x0x(1xcotx)lim1sinxxcosxx0xxsinx xx3(x3)x[1x2(x2)]lim3!2!x0x3(12!13!)x3(x3)lim1.x0x33例13 设f(x)在[a,b]上二阶可导，且f(a)f(b)0，则存在(a,b)，f()4(ba)2fb()fa(.)证明： x(a,b)，将函数f(x)在点a与点b处Taylor展开

f(x)f(a)f(a)(xa)f(1)2!(xa)2，a1x，f(x)f(b)f(b)(xb)f(2)2!(xb)2，x2b.令xab2代入得： f(abf(1)(ba)2f(2)f(a)2!4，f(ab22)f(b)2)(ba)2!4，上述二项相减，移项并取绝对值得

f(b)f(a)(ba)2f(2)f(1)42

(ba)2f(22)f(1)(ba)424f()，使得华东师范大学数学系编《数学分析》第三版上册教案

第六章 微分中值定理及其应用

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其中，f()max{f(1),f(2)}，取f()4f(b)f(a).(ba)2例14 证明: x0时, 有不等式 ex1x.[作业] 教材P141 1，2，3（1），4（1），5（1）.