初中数学竞赛专题培训(6)：代数式的求值_初中数学竞赛代数专题
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初中数学竞赛专题培训 第六讲 代数式的求值
代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代
所以
a+b+c=0或bc+ac+ab=0．
若bc+ac+ab=0，则 数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．
1．利用因式分解方法求值
因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．
分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．
解 已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以
6x4+15x3+10x2
=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1
=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1
=0+1=1．
说明 在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．
例2 已知a，b，c为实数，且满足下式：
a2+b2+c2=1，①
求a+b+c的值．
解 将②式因式分解变形如下
即
(a+b+c)
2=a2
+b2
+c2
+2(bc+ac+ab)
=a2
+b2
+c2
=1，所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0，1，-1．
说明 本题也可以用如下方法对②式变形：
即
前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式．
2．利用乘法公式求值
例3 已知x+y=m，x
3+y3
=n，m≠0，求x2
+y2的值．
解 因为x+y=m，所以
m3
=(x+y)3
=x3
+y3
+3xy(x+y)=n+3m·xy，所以
求x2
+6xy+y2的值．
分析 将x，y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x，y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算出x+y与xy的值，由此得到以下解法．
解 x2
+6xy+y2
=x2
+2xy+y2
+4xy
=(x+y)2
+4xy
3．设参数法与换元法求值
如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法．
分析 本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．
x＝(a-b)k，y＝(b-c)k，z＝(c-a)k．
所以
x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．
u+v+w=1，①
由②有
把①两边平方得
u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1，所以u2+v2+w2=1，即
两边平方有
所以
4．利用非负数的性质求值
若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．
例8 若x2-4x+|3x-y|=-4，求yx的值．
分析与解 x，y的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解．
因为x2
-4x+|3x-y|=-4，所以
x2
-4x＋4＋|3x-y|=0，即(x-2)2
+|3x-y|=0．
所以 yx
=62
=36．
例9 未知数x，y满足
(x2
＋y2)m2
-2y(x+n)m+y2
+n2
=0，其中m，n表示非零已知数，求x，y的值．
分析与解 两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式．
将已知等式变形为
m2
x2
+m2y2
-2mxy-2mny+y2
+n2
=0，(m2x2
-2mxy+y2)+(m2y2
-2mny+n2)=0，即(mx-y)2
+(my-n)2
=0．
5．利用分式、根式的性质求值
分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门
讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明．
例10 已知xyzt=1，求下面代数式的值：
分析 直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．
解 根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为
3．已知a+b+c=3，a+b+c=29，a+b+c=45，求零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分
ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．(改)母变为与第四个相同．
2．已知x+y=a，x+y=b，求x+y的值．
(第一个分母改为x)
5．设a+b+c=3m，求(m-a)+(m-b)+(m-c)-3(m-a)(m-b)(m-c)的同理
8．已知13x-6xy+y-4x+1=0，求(x+y)^13·x^10的值．
1.383
2.(b+2ab-a)/2 3.42 4.2 5.0 6.2 分利用这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算．
7.8 8.8
值．
分析 计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，计算反而复杂．因为这样一来，原式的对称性就被破坏了．这里所言的对称性是
同样(但请注意算术根！)
将①，②代入原式有
练习六
